Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Параллельность прямых

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Параллельные прямые

Параллельные прямые . Расстояние между параллельными прямыми .
Углы с соответственно параллельными сторонами .

Соответственные углы .
Внутренние и внешние накрест лежащие углы .

Внутренние и внешние односторонние углы .

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами .
Пропорциональные отрезки . Теорема Фалеса.

Две прямые AB и CD ( рис.11 ) называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать. Обозначение: AB || CD . Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой. Все прямые, параллельные одной прямой, параллельны между собой. Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю. Угол между двумя параллельными лучами равен нулю, если у них одинаковые направления, и 180 ° , если их направления противоположны. Все перпендикуляры ( AB , CD , EF , рис.12 ) к одной и той же прямой KM параллельны между собой. Обратно, прямая KM , перпендикулярная к одной из параллельных прямых, перпендикулярна и к остальным. Длина отрезка перпендикуляра, заключённого между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образуются восемь углов ( рис.13 ), которые попарно называются:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

1) соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно

равны: (Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 1 = Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 5; Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 2 = Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 6; Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 3 = Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 7; Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 4 = Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 8 );

2) внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 5; 3 и 6 ); они попарно равны;

3) внешние накрест лежащие углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); они попарно равны;

4) внутренние односторонние углы ( 3 и 5; 4 и 6 ); их сумма равна 180 °

( Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 3 + Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 5 = 180 ° ; Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 4 + Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 6 = 180 ° );

5) внешние односторонние углы ( 1 и 7; 2 и 8 ); их сумма равна 180 °

( Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 1 + Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 7 = 180 ° ; Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 2 + Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 8 = 180 ° ).

Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые, Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 1 = Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 2 , рис.14 ), либо их сумма равна 180 ° ( Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 3 + Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет 4 = 180 ° , рис.15 ).

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами также либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180 ° .

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Теорема Фалеса. При пересечении сторон угла параллельными прямыми ( рис.16 ) стороны угла делятся на пропорциональные отрезки:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Copyright © 2004 — 2007 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

4.3. Угол между направлениями. Параллельные прямые

Для того чтобы мы могли определить угол между двумя лучами, они вовсе необязательно должны иметь общее начало. В самом деле, каждый луч, независимо от того, где он начинается, задает какое-то направление на плоскости, а различие между двумя направлениями характеризуется не чем иным, как углом — точнее говоря, угловым расстоянием или, с учетом знака, угловым смещением.

Рассмотрим лучи и с общим началом в точке O. Обозначим угол между ними через γ . Давайте, однако, договоримся, что здесь и далее в этих рассуждениях под «углом» мы будем понимать не угловое расстояние, а угловое смещение, которое может быть положительным или отрицательным. Об этом на рисунках нам будет напоминать стрелка у дуги, обозначающей угол:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Пусть на луче OA между O и A задана произвольная точка A0, а на луче OB между O и B — произвольная точка B0. Очевидно, что угол между лучами A0A и B0B тоже равен γ , хотя на этот раз лучи исходят не из одной точки.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Этот угол мы могли бы найти и другим способом. Проведем через точки A0 и B0 прямую и отметим на ней точки A1 и B1, как показано на рисунке:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Измерим углы ∠A1A0A и ∠A1B0B и обозначим результаты наших измерений через α и β соответственно. Эти углы (а точнее — угловые смещения) отсчитываются от одного и того же направления, задаваемого лучом B0A1. Очевидно, что угол γ можно вычислить как

Пусть теперь на плоскости нам даны два произвольных луча B0B и A0A. Опираясь на предыдущие рассуждения, мы всегда можем найти угол γ между ними одним из следующих двух способов.

Первый способ. Восстановить исходные лучи до полных прямых, найти точку их пересечения и непосредственно измерить угол γ между подходящими лучами, начинающимися в этой точке:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Второй способ. Провести прямую через точки A0 и B0, измерить образовавшиеся углы α и β и вычислить угол γ по формуле γ = βα .

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Необходимо отметить, что второй способ работает всегда, а с первым способом могут возникнуть проблемы. Это случается, в частности, тогда, когда углы α и β в точности равны друг другу:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

В этом случае угол γ , вычисляемый по формуле γ = βα , обращается в нуль. А это означает, что прямые, восстановленные из лучей B0B и A0A, нигде не пересекаются.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Действительно, если бы они пересекались, то угол γ можно было бы измерить в точке пересечения непосредственно, но тогда он оказался бы отличен от нуля.

Пусть две несовпадающие прямые принадлежат одной плоскости и на них лежат лучи, угол между которыми равен нулю. Про такие прямые говорят, что они параллельны друг другу. Важнейшее свойство параллельных прямых заключается в том, что они нигде не пересекаются.

Вернемся к задаче о нахождении угла γ между двумя произвольными лучами B0B и A0A с началом в разных точках. Мы только что рассмотрели особый случай, когда этот угол равен нулю. Про лучи, угловое расстояние между которыми равно нулю, говорят, что они сонаправлены или параллельны. Возможен другой особый случай, когда угол γ , рассчитанный по формуле γ = βα , оказывается равен 180° или −180°:

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Такие лучи называются противонаправленными или антипараллельными. Несложно видеть, что прямые, восстановленные из этих лучей, параллельны друг другу и, таким образом, этот случай очень похож на предыдущий.

Постороение параллельных прямых

Пусть на листе бумаги начерчена некоторая прямая n и мы хотим провести другую прямую, параллельную первой. Делается это так. Совместим с прямой n одну из сторон чертежного треугольника. К другой стороне треугольника приставим линейку. Прочно держим линейку одной рукой и передвигаем треугольник другой рукой, скользя им вдоль линейки. После этого проводим линию по той стороне треугольника, которую первоначально мы приставляли к исходной прямой n. Новая линия образует тот же угол с линейкой, что и прямая n, а значит, обе линии параллельны друг другу.

Угол между параллельными прямыми равен 180 градусов верно или нет

Если мы хотим, чтобы новая прямая прошла через какую-то определенную точку, то мы всегда это может сделать, остановив скольжение угольника вдоль линейки в подходящем месте.

📽️ Видео

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 класс

9 неприятных признаков того, что вы быстро становитесь лучшей версией себяСкачать

9 неприятных признаков того, что вы быстро становитесь лучшей версией себя

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

решение задач на параллельность прямыхСкачать

решение задач на параллельность прямых

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 КлассСкачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 Класс

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 классСкачать

Признаки параллельности прямых. Видеоурок по геометрии 7 класс

Кружок 4-7. Перечень 8-9. Начала планиметрии. Параллельные прямые, равенство треугольниковСкачать

Кружок 4-7. Перечень 8-9. Начала планиметрии. Параллельные прямые, равенство треугольников

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямыми
Поделиться или сохранить к себе: