Как найти угол между медианой и высотой в прямоугольном треугольнике, если известны его острые углы?
Острые углы прямоугольного треугольника равны α и β (β>α). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла.
Дано : ∆ ABC, ∠C=90º,
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, в треугольнике ABC ∠A+∠B=90º, то есть α+β=90º. Значит, β=90º-α.
Следовательно, треугольник ACK- равнобедренный с основанием AC. Отсюда, ∠ACK=∠A=α (как углы при основании равнобедренного треугольника).
Рассмотрим треугольник ACF — прямоугольный (∠CFA=90º, так как CF — высота).
∠A+∠ACF=90º, откуда ∠ACF=90º-∠A=90º-α=β.
Вывод : угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе, равен разности острых углов прямоугольного треугольника.
Поскольку две другие высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами, то угол между медианой и высотой, проведённой к катету, есть угол между медианой и другим катетом. Для нахождения этих углов требуются дополнительные данные.
∠CBP — угол между медианой BP и высотой BC
(высота BC является также катетом).
∠CAE — угол между медианой AE и высотой AC
Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Угол между медианой и высотой векторы
Найдем координаты точки D (медианы стороны ВС):
Xd=(3+4)/2=3,5.
Yd=(1-2)/2=-0,5.
D(3,5;-0,5). Вектор AD или AD.
Модуль вектора |AD|=√(6,25+12,25)=√18,5.
Уравнение прямой ВС:
(X-Xb)/(Xc-Xb)=(Y-Yb)/(Yc-Yb) или
(X-4)/(-1)=(Y-1)/(-3) — каноническое уравнение.
Уравнение прямой ВС в общем виде Ax+By+C=0:
3х-y-11=0, где А=3, В=-1, С=-11.
Вектор нормали прямой — это перпендикуляр к прямой.
Координаты вектора нормали из уравнения прямой ВС:
n==. Этот же вектор — направляющий вектор для прямой АЕ.
Формула для уравнения прямой, проходящей через точку А(1;3)
и имеющей направляющий вектор р, то есть уравнение прямой АЕ:
(X-1)/3=(Y-3)/-1 — каноническое уравнение.
х+3y-10=0 — общее уравнение прямой АЕ.
Найдем точку пересечения прямых АЕ и ВС:
Система двух уравнений:
3х-y-11=0 и х+3y-10=0. Решаем систему и имееи:
Х=4,3 и Y=1,9/ То есть точка Е(4,3;1,9).
Тогда вектор АЕ. Модуль вектора |AE|=√(10,89+1,21)=√12,1.
Угол между векторами AD и ВЕ:
Cosα=(Xad*Xae+Yad*Yae)/(√18,5*√12,1)≈ 12,1/14,96 ≈ 0,809.
Ответ: угол между векторами равен arccos(0,809. или α≈36°.
Второй вариант:
Находим точку D(3,5;-0,5). Вектор AD.
Медиана (Модуль вектора) |AD|=√(6,25+12,25)=√18,5. (смотри первый вариант).
Находим площадь треугольника по координатам его вершин по формуле
(по формуле Герона, когда стороны — сплошные корни не хочется решать):
S=(1/2)|(Xa-Xc)*(Yb-Yc)-(Xb-Xc)(Ya-Yc)| или в нашем случае:
S=(1/2)|(1-3)*(1+2)-(4-3)(3+2)|= 5,5.
Находим длину стороны ВС:
|BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²] или BC=√[(-1)²+(-3)²] =√10.
Тогда высота треугольника АЕ=2*S/ВС= 11√10/10.
Угол между высотой АЕ и медианой AD определяем по косинусу угла Спасибо
Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать
Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане
Определения
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема
В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.
Доказательство
Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC) , (O) – точка пересечения (AD) и (BE) .
(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC) , тогда (DEparallel AB) , значит (angle ADE = angle BAD) , (angle BED = angle ABE) , следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников (ABO) и (DOE) : (dfrac = dfrac = dfrac) .
Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.
Теорема
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).
Доказательство
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_ = 0,5cdot ACcdot h) .
Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC) , тогда (AD = DC) .
(S_ = 0,5cdot ADcdot h) ,
(S_ = 0,5cdot DCcdot h) .
Так как (AD = DC) , то (S_ = S_) , что и требовалось доказать.
Теорема
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.
Доказательство
1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC) , где (M) – середина гипотенузы (AC) .
Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD) . Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M) , причем (AM=MC=BM=MD) , чтд.
2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC) , то (angle B=90^circ) .
Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta) .
Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ) , то для (triangle ABC) :
(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ) , чтд.
Теорема
Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.
Доказательство
Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac<S_><S_> = dfrac = dfrac]
В итоге (dfrac = dfrac<S_><S_> = dfrac) , откуда (dfrac = dfrac) , что и требовалось доказать.
Теорема
Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.
Доказательство
1) Докажем, что если (KA=KB) , то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK) : они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK) , чтд.
2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB) .
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB) , чтд.
🔥 Видео
Угол между медианой и высотойСкачать
Угол между векторами | МатематикаСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Как находить угол между векторамиСкачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать
Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать
100 тренировочных задач #135 Угол между векторамиСкачать
Вычисляем угол через координаты вершинСкачать
11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Треугольники. 7 класс.Скачать
Задача о векторах, построенных на медиане, биссектрисе и высоте треугольникаСкачать
№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать
Геометрия 9 класс (Урок№18 - Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.)Скачать
ЕГЭ база #15 / Треугольники и их элементы / Угол между биссектрисой, медианой и высотой / решу егэСкачать
