вариантов текущего контроля
1. Домашнее задание №1. «Векторная алгебра и аналитическая геометрия»
Дано: точки ,
,
,
; числа
,
; угол
.
1. Найти длину вектора , если
,
и
,
— единичные векторы, угол между которыми равен
.
2. Найти координаты точки М, делящей вектор в отношении
.
3. Проверить, можно ли на векторах и
построить параллелограмм. Если да, то найти длины сторон параллелограмма.
4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.
5. Найти площадь параллелограмма ABCD.
6. Убедиться, что на векторах ,
,
можно построить параллелепипед. Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты.
7. Найти координаты вектора , направленного по высоте параллелепипеда
, проведенной из точки A к плоскости основания
, координаты точки H и координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором
.
8. Найти разложение вектора по векторам
,
,
.
9. Найти проекцию вектора на вектор
.
10. Написать уравнения плоскостей:
а) P, проходящей через точки A, B, D;
б) P1, проходящей через точку A и прямую A1B1;
в) P2, проходящей через точку A1 параллельно плоскости P;
г) P3 , содержащей прямые AD и AA1;
д) P4 , проходящей через точки A и C1 , перпендикулярно плоскости P.
11. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и CC1; написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра.
12. Найти точку A2 , симметричную точке A1 относительно плоскости основания ABCD.
13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ A1C, и плоскостью основания ABCD.
14. Найти острый угол между плоскостями ABC1D (плоскость P) и ABB1A1 (плоскость P1).
2. Домашнее задание №2. «Кривые и поверхности второго порядка»
В задачах 1–2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду и построить кривую в системе координат OXY.
В задаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY.
Для задач 1–3 указать:
1) канонический вид уравнения линии;
2) преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;
3) в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов; в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки C до фокусов, уравнения асимптот; в случае параболы: параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояния от точки C до фокуса и директрисы;
4) для точки C проверить свойство, характеризующее данный тип кривых как геометрическое место точек.
В задаче 4 указать преобразование параллельного переноса, приводящее данное уравнение поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнения поверхности и тип поверхности. Построить поверхность в канонической системе координат OXYZ.
1) ,
; 2)
,
.
3) Парабола симметрична относительно прямой , имеет фокус
, пересекает ось OX в точке
, а ее ветви лежат в полуплоскости
.
4) .
Контроль по модулю №1 “Векторная алгебра. Аналитическая геометрия”
1. Правые и левые тройки векторов. Определение векторного произведения векторов. Сформулировать свойства векторного произведения векторов. Вывести формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе.
2. Найти угол между векторами
если
3. Найти, если это возможно, разложение вектора по векторам
и
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,
и перпендикулярной плоскости
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
и ортогональной к найденной плоскости.
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-09; Нарушение авторского права страницы
По координатам точек считаешь векторы.
Вектор от точки C (x1,y1,z1) до точки D (x2,y2,z2) имеет вид: || x2-x1 y2-y1 z2-z1 ||
Примени это к заданым точкам – получишь векторы.
Построить параллелепипед ( с ненулевым объёмом, надо полагать) можно, если они не лежат в одной плоскости. Иначе – образуют базис в 3D пространстве.
Убедиться можно либо доказав их линейную независимость, либо посчитав смешанное произведение. Формулы в учебнике и в инете есть. Координаты есть из предыдущего шага.
Собственно, для вычисления объёма нужно то же векторное произведение.
Видео:№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать
Описание файла
PDF-файл из архива «Домашнее задание по аналитической геометрии (модуль №1)», который расположен в категории «9 вариант». Всё это находится в предмете «аналитическая геометрия» из первого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «курсовые/домашние работы», в предмете «аналитическая геометрия» в общих файлах.
Видео:№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать
Просмотр PDF-файла онлайн
Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать
Текст из PDF
1 курс 1 семестрМодуль 1. Векторная алгебра. Прямая и плоскость в пространстве.Домашнее задание N 1.Дано: точки A, B, D, A1 ; числа a, b; угол ϕ.Задание:1. Найти длину вектора |m + n|, если m = p + aq, n = bp + q,где p и q — единичные векторы, угол между которыми равен ϕ.−→2. Найти координаты точки М , делящей вектор AB в отношении a : 1.−→ −−→3. Проверить, можно ли на векторах AB и AD построить параллелограмм.Если да, то найти длины сторон параллелограмма.4. Найти углы между диагоналями параллелограмма ABCD.5. Найти площадь параллелограмма ABCD.−→ −−→ −−→6.
Убедиться, что на векторах AB, AD, AA1 можно построить параллелепипед.Найти объем этого параллелепипеда и длину его высоты.−−→7. Найти координаты вектора AH, направленного по высоте параллелепипеда,проведенной из точки A к плоскости основания A1 B1 C1 D1 , координаты точки H−−→и координаты единичного вектора, совпадающего по направлению с вектором AH.−−→−→ −−→ −−→8. Найти разложение вектора AH по векторам AB, AD, AA1 .−−→−−→9. Найти проекцию вектора AH на вектор AA1 .10. Написать уравнения плоскостей:а) P , проходящей через точки A, B, D;б) P1 , проходящей через точку A и прямую A1 B1 ;в) P2 , проходящей через точку A1 параллельно плоскости P ;г) P3 , содержащей прямые AD и AA1 ;д) P4 , проходящей через точки A и C1 , перпендикулярно плоскости P .11.
Найти расстояние между прямыми, на которых лежат ребра AB и CC1 ;написать канонические и параметрические уравнения общего к ним перпендикуляра.12. Найти точку A2 , симметричную точке A1 относительно плоскости основанияABCD.13. Найти угол между прямой, на которой лежит диагональ A1 C и плоскостьюоснования ABCD.14. Найти острый угол между плоскостями ABCD (плоскость P ) и ABB1 A1(плоскость P1 ).Примечание.Зачётное число задач – 11 из 14.Оценка: 10 баллов – за 11 правильно решённых задач; 3 балла – за остальныерешённые задачи ДЗ.Сроки выполнения: выдача – 2 неделя; приём – 9 неделя.1Варианты задания1234567891011121314151617181920212223242526272829303132ABDA1abϕ1, 0, 02, −1, 31, 0, 11, 1, 10, 0, −12, 0, 10, 1, 03, −2, 21, 2, 30, 1, 00, 1, 03, −1, 10, 3, 03, 1, 20, 3, 2−1, 2, 00, 3, −23, 1, 11, 2, 02, 2, 30, 1, 00, 2, 10, 2, −32, 2, 12, 0, 13, −1, 03, 2, 02, 3, 10, 1, 2−1, 2, 2−1, 4, 20, 3, 21, 2, 03, −2, 21, 2, 30, 1, 00, 1, 03, −1, 11, 0, 03, 1, 20, 3, 2−1, 2, 00, 3, −23, 1, 10, 1, 02, 2, 30, 1, 00, 2, 10, 2, −32, 2, 10, 3, 02, −1, 31, 0, 11, 1, 10, 0, −12, 0, 13, −1, 03, 2, 02, 3, 12, 0, 10, 3, 20, 1, 2−1, 2, 2−1, 4, 20, 1, 02, 2, 30, 1, 00, 2, 10, 2, −32, 2, 10, 3, 02, −1, 31, 0, 11, 1, 10, 0, −12, 0, 11, 2, 03, −2, 21, 2, 30, 1, 00, 1, 03, −1, 11, 0, 03, 1, 20, 3, 2−1, 2, 00, 3, −23, 1, 12, 3, 12, 0, 13, −1, 03, 2, 0−1, 2, 2−1, 4, 20, 3, 20, 1, 20, 1, 22, 0, 11, 0, 22, 0, 31, 0, 20, −2, 3−1, 2, 23, −1, 01, 2, 41, 0, 21, 1, 31, −3, 3−1, 4, 23, 2, 00, 3, 30, 1, 21, 3, 11, −1, 30, 3, 22, 3, 10, 1, 11, 1, 31, 2, 00, 0, 32, −1, 33, −2, 23, 1, 22, 2, 31, 0, 00, 1, 00, 3, 01, 2, 051234567891071213141516171819202122232425262728293031−6−1−1−1−1−1−1−1−1−1−119−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−1−10π/6π/22π/311π/65π/67π/611π/63π/24π/3π/6ππ/34π/35π/67π/6π/3π/4π/35π/3π/211π/6π/47π/4π/2π3π/45π/42π/34π/35π/67π/62.
Видео:№327. На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, нСкачать
Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов
Задача:
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:
Решение:
- а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
Поделитесь ссылкой пожалуйста: |
(AB AD AA1) | = |
| = | 20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16 | = | -12 | . |
---|
Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.
[AB AD] | = |
| = | 6i — 8j — 2k | , |
---|
Теперь найдём модуль этого вектора:
SABCD= |[AB AD]|=√ | (36+64+4) | =2√(26). |
---|
[AD AA1] | = |
| = | 9i — 16j — k | , |
---|
SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.
h | = |
| = |
| = |
| = |
| . |
---|
cos(λ1) | = |
| . |
---|
Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:
cos(λ1) | = |
| = |
| . |
---|
д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.
cos(λ2) | = |
| = |
| . |
---|
Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.
Видео:№355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарныСкачать
Правило параллелепипеда. Разложение вектора
Вы будете перенаправлены на Автор24
Видео:№361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторыСкачать
Правило параллелепипеда
Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.
Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$
Доказательство.
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:
Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$
Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.
Видео:1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.
Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.
Произвольный вектор $overrightarrow
$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:
[overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow
Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow
$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Так как векторы $overrightarrow
$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow
$ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:
Вычтем эти разложения друг из друга
🔍 Видео
№786. Отрезки AA1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы AA1, BB1, СС1Скачать
§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
№76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC||A1C1 и BD||B1D1.Скачать
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
№368. Точки М и N являются серединами ребер АВ и A1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.Скачать
№116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC⊥B1C1, и AB⊥A1DСкачать
Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать
Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать
№337. Упростите выражение: a) OP - EP + KD - KA; б) AD + MP + EK - EP - MD;Скачать
№357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.Скачать