У вектора есть ось симметрии

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

История симметрии

Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.

В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.

А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:

• тетраэдр — огонь, так как его вершина направлена вверх;
• куб — земля, так как это самое устойчивое тело;
• октаэдр — воздух, нет каких-либо объяснений;
• икосаэдр — вода, так как тело не имеет грубых геометрических форм, углов и так далее;
• образом всей Вселенной являлся додекаэдр.

Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.

Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.

Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».

Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».

Что уж там говорить, симметрия — ключевое понятие для всех деятелей искусства на протяжении многих веков, но в XX веке ее смысл оценили также все деятели точных наук. Точным свидетельством являются физические и космологические теории, например, теория относительности, теория струн, абсолютно вся квантовая механика. Со времен Древнего Вавилона и, заканчивая передовыми открытиями современной науки, прослеживаются пути изучения симметрии и открытия ее основных законов.

Видео:№417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?Скачать

Симметрия геометрических фигур и тел

Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.

Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.

У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Симметрия в природе

Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.

А сколько примеров окружает нас постоянно! Это цветы, листья, лепестки, овощи и фрукты, животные и даже соты пчел имеют ярко выраженную геометрическую форму и симметрию. Вся природа устроена упорядоченно, всему есть свое место, что еще раз подтверждает совершенство законов природы, в которых симметрия — основное условие.

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Вывод

Нас постоянно окружают какие-либо явления и предметы, например, радуга, капля, цветы, лепестки и так далее. Их симметрия — очевидна, в какой-то степени она обусловлена гравитацией. Часто в природе под понятием «симметрия» понимают регулярную смену дня и ночи, времен года и так далее.

Подобные свойства наблюдаются везде, где есть порядок и равенство. Также и сами законы природы — астрономические, химические, биологические и даже генетические подчинены определенным принципам симметрии, так как имеют совершенную системность, а значит, сбалансированность имеет всеохватывающий масштаб. Следовательно, осевая симметрия — один из основополагающих законов мироздания в целом.

Видео:Урок 10. Действия над проекциями вектораСкачать

У вектора есть ось симметрии

Пусть — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор ′ равен вектору : ′ = (рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: ′ = .

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = ( М ) или ( M ) = M ′ .

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .

Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′ = (рис. 24). Тогда = – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .

Перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием: ( М ) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор ( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор .

Так как M ′ = ( М ) , то ′ = (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′ = равносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда

(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор ( a ; b ; c ) .

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( ; ; ), C ′ ( ; ; ) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем

= x 1 + a, = y 1 + b, = z 1 + c,
= x 2 + a, = y 2 + b, = z 2 + c . (2)

Расстояние между точками А и C равно

.

Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .

Учитывая (2), получаем

| A ′ C ′ | = =
= = | AC| .

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает :

— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

— луч на сонаправленный с ним луч;

— вектор на равный ему вектор (на себя);

— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α .

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a ∩ b = O.

Пусть ( a ) = a ′ , ( b ) = b ′ (рис. 26). Тогда a || a ′ , b || b ′ .

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не ∘ , а + .

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор точку М отображает на такую точку М ′ , что ′ = (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″ = . По правилу сложения векторов имеем ″ = ′ + ″ = + . Это означает, что ( + )( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М ″ .

Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор + .

Так как + = + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )( M ) = ( + )( М ).

5 .4. Скользящая симметрия

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );

— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором , является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – .

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 . Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.

📽️ Видео

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Физика | Ликбез по векторамСкачать

Зачем нужен ВЕКТОР. Объяснение смыслаСкачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Определение осей симметрии в кристаллахСкачать

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать