Правильная шестиугольная пирамида описанная окружность (5 видео)

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Содержание

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу
Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды
Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды
Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды
Формулы расчета радиуса сферы (шара)
Правильная треугольная пирамида
Правильная четырехугольная пирамида
Правильная шестиугольная пирамида
Все что нужно знать о шестиугольной пирамиде
Шестиугольная пирамида
Как найти площадь всей поверхности и объем шестиугольной пирамиды?
Вариант задачи, который может попасться на экзамене
📸 Видео

Видео:ЕГЭ Задание 14 Правильная шестиугольная пирамидаСкачать

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рисунке 2 изображена пирамида SA₁A₂ . A_n , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A₁A₂ . A_n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A₁A₂ . A_n пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A₁A₂ . A_n , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA_n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA₁A₂ . A_n . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A₁A₂ . A_n , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Видео:Правильная шестиугольная пирамида | Стереометрия #50 | ИнфоурокСкачать

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’A_n (рис. 5).

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OA_n получаем

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Видео:39 Правильная шестиугольная пирамидаСкачать

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Видео:Стереометрия Боковое ребро правильной шестиугольной пирамидыСкачать

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Видео:Задание 8 ЕГЭ по математике. Правильная шестиугольная пирамидаСкачать

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Видео:Правильная шестиугольная пирамида: принципы построение, решение задачСкачать

Все что нужно знать о шестиугольной пирамиде

Пирамида — это трехмерная фигура, основание которой представляет собой многоугольник, а боковые стороны являются треугольниками. Шестиугольная пирамида — ее частный вид. Помимо того, существуют другие вариации, когда в основании треугольника (такая фигура называется тетраэдр) находится квадрат, прямоугольник, пятиугольник и так далее по нарастанию. Когда количество точек становится бесконечным, то получается конус.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Шестиугольная пирамида

В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.

Вам будет интересно: Удивительные факты о лошадях

И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.

Видео:Стереометрия, номер 33.1Скачать

Как найти площадь всей поверхности и объем шестиугольной пирамиды?

В отличие от математики, которую преподают в университетах, школьная наука обучает обходить стороной и упрощать некоторые сложные понятия. Например, если не известно, как найти площадь фигуры, то приходится делить ее на части и уже по известным формулам площадей разделенных фигур находить ответ. Такому принципу нужно последовать и в представленном случае.

То есть, чтобы найти площадь поверхности всей шестиугольной пирамиды, надо найти площадь основания, затем площадь одной из боковых сторон и умножить ее на 6.

Применяются такие формулы:

S (полное) = 6S (боковой стороны) + S (основания) , (1);

S (основания) = 3√3 / 2a2 , (2);

6S (боковой стороны) = 6×1 / 2ab = 3ab , (3);

S (полное) = 3ab + (3√3 / 2a2) = 3(2a2b + √3) / 2a2 , (4).

Где S — площадь, см2;

a — длина основания, см;

b — апофема (высота боковой грани), см.

Для того чтобы найти площадь всей поверхности или какой-либо ее составляющей, требуется всего лишь сторона основания шестиугольной пирамиды и апофема. Если в задаче дано это в условии, то решение не должно составить труда.

С объемом дела обстоят намного легче, но чтобы его найти, нужна высота (h) самой шестиугольной пирамиды. Ну и, конечно же, сторона основания, благодаря которой нужно найти ее площадь.

Формула выглядит следующим образом:

V = 1/3 × S (основания) × h , (5).

Где V — объем, см3;

h — высота фигуры, см.