Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центр окружности, вписанной в угол

Окружность называется вписанной в угол, если она касается сторон угла.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Центры окружностей лежат на биссектрисеДано :

окружность (O; R) вписана в угол ABC, O∈BD

Доказать : BD — биссектриса ∠ABD

Центры окружностей лежат на биссектрисеПроведём из точки O радиусы OF и OP в точки касания.OF=OP=R

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Значит, прямоугольные треугольники BOF и BOP равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠FBO=∠PBO.

Следовательно, BO — биссектриса угла ABC.

Что и требовалось доказать.

OF=OP (как радиусы). Значит, точка O равноудалена от сторон угла ABC. А так как любая точка внутри неразвёрнутого угла, равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то BO — биссектриса угла ABC.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Центры окружностей лежат на биссектрисеСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центры окружностей лежат на биссектрисеФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центры окружностей лежат на биссектрисеВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центры окружностей лежат на биссектрисе

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке АСкачать

№675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центры окружностей лежат на биссектрисе.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центры окружностей лежат на биссектрисе

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе
Равнобедренный треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе
Равносторонний треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе
Прямоугольный треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центры окружностей лежат на биссектрисе.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центры окружностей лежат на биссектрисе.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Произвольный треугольник
Центры окружностей лежат на биссектрисе
Равнобедренный треугольник
Центры окружностей лежат на биссектрисе
Равносторонний треугольник
Центры окружностей лежат на биссектрисе
Прямоугольный треугольник
Центры окружностей лежат на биссектрисе
Произвольный треугольник
Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центры окружностей лежат на биссектрисе.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центры окружностей лежат на биссектрисе.

Равнобедренный треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Равносторонний треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центры окружностей лежат на биссектрисе– полупериметр (рис. 6).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

с помощью формулы Герона получаем:

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центры окружностей лежат на биссектрисе

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Центры окружностей лежат на биссектрисе

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная окружность (описанный треугольник, описанный четырехугольник)

Факт 1.
(bullet) Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла.
(bullet) Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Факт 2.
(bullet) Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Факт 3.
(bullet) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
(bullet) Наоборот: если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника.

Центры окружностей лежат на биссектрисе

Факт 4.
(bullet) Центр вписанной в многоугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов.
(bullet) 1. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.
Тогда центр окружности лежит на пересечении диагоналей.
(bullet) 2. Если в прямоугольник можно вписать окружность, то он является квадратом.
Тогда центр окружности лежит на пересечении диагоналей.

🌟 Видео

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Если точка лежит на биссектрисе угла ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Если точка лежит на биссектрисе угла ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

2020 точка О центр окружности на которой лежат точки A B и C известно что Угол ABC равен 62 градусаСкачать

2020 точка О центр окружности на которой лежат точки A B и C известно что Угол ABC равен 62 градуса

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

Три способа найти центр круга.Скачать

Три способа найти центр круга.

Геометрия. Задача. Окружности. Касательные. Радиус.Скачать

Геометрия. Задача. Окружности. Касательные. Радиус.
Поделиться или сохранить к себе: