Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторонСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторонФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторонВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Содержание
  1. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  3. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
  5. Тест по геометрии для 8 класса
  6. Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
  7. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  8. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  9. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  10. Дистанционные курсы для педагогов
  11. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  12. Другие материалы
  13. Вам будут интересны эти курсы:
  14. Оставьте свой комментарий
  15. Автор материала
  16. Дистанционные курсы для педагогов
  17. Подарочные сертификаты
  18. 💥 Видео

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Равнобедренный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Равносторонний треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Прямоугольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Произвольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Равнобедренный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Равносторонний треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Прямоугольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон
Произвольный треугольник
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон.

Равнобедренный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Равносторонний треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникЦентр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон– полупериметр (рис. 6).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

с помощью формулы Герона получаем:

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

557. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5, считая от вершины треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 68 см.

558. Периметр треугольника ABC , описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной AB делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины A . Точка касания со стороной BC удалена от вершины C на 6 см. Найдите стороны треугольника.

559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

560. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC , касается его боковых сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что MN ‖ AC .

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон562. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M , BС = a . Докажите, что AM = p — a , где p — полупериметр треугольника ABC .

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a , провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

564. В равнобедренный треугольник ABC ( AB = BC ) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK , BEF и CMN . Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

565. В треугольнике ABC отрезок BD — медиана, AB = 7 см, BC = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD .

566. Каждый из углов BAC и ACB треугольника ABC разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что ∠ AMN = ∠ CMN .

567. Пусть вершина угла B недоступна (рис. 309). С помощью транспортира и линейки без делений постройте прямую, содержащую биссектрису угла B .

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

568. Точки F и O — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания AC . Найдите углы треугольника ABC .

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Упражнения для повторения

569. Биссектриса угла ABC образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом ABC . Найдите угол ABC .

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании — биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 BC ‖ AD , AB = 3 см, BC = 10 см. Биссектриса угла BAD пересекает отрезок BC в точке K . Найдите отрезки BK и KC .

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

572. В треугольнике ABC известно, что AB = BC , AM и CK — медианы этого треугольника. Докажите, что MK ‖ AC .

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

573. В квадрате ABCD вырезали заштрихованную фигуру (рис. 312). Разделите оставшуюся часть квадрата на четыре равные фигуры.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Тест по геометрии для 8 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

по геометрии для 8 класса

1.Центр вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его …

в) серединных перпендикуляров.

2. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от …

в) вершин треугольника.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан. Этот треугольник…

4. Окружность называется вписанной в многоугольник, если…

а) все его стороны касаются окружности;

б) все его вершины лежат на окружности;

в) все его стороны имеют общие точки с окружностью.

по геометрии для 8 класса

1. Радиус вписанной в треугольник окружности равен расстоянию от центра окружности до …

а) сторон треугольника;

б) вершин треугольника;

в) углов треугольника.

2. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности может лежать…

а) на любой из его высот;

б) на любой из его медиан;

в) на любом из его серединных перпендикуляров.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Этот треугольник может быть…

б) только равносторонним;

в) только прямоугольным.

4. Многоугольник называется описанным около окружности, если …

а) окружность имеет общие точки с его сторонами;

б) окружность проходит через его вершины;

в) окружность является касающейся всех его сторон.

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 678 человек из 75 регионов

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 305 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис ТрушинСкачать

✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис Трушин

Дистанционные курсы для педагогов

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 518 838 материалов в базе

Другие материалы

  • 17.03.2017
  • 1451
  • 19
  • 17.03.2017
  • 1182
  • 0
  • 17.03.2017
  • 5037
  • 16
  • 17.03.2017
  • 792
  • 2
  • 17.03.2017
  • 376
  • 0

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

  • 17.03.2017
  • 266
  • 0

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

  • 17.03.2017
  • 299
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 17.03.2017 6616
  • DOCX 13.1 кбайт
  • 11 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Еленкина Алена Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

  • На сайте: 4 года и 11 месяцев
  • Подписчики: 10
  • Всего просмотров: 47353
  • Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Минобрнауки учредит стипендию для студентов — победителей международных олимпиад

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Онлайн-тренинг о способах взаимодействия с разными категориями учащихся

Время чтения: 2 минуты

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Школы Северной Осетии переведут на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Студенты РФ и Великобритании подписали договор о создании студенческой Ассоциации

Время чтения: 1 минута

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от сторон

Путин поручил обучать педагогов работе с девиантным поведением

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

💥 Видео

Вписанная окружность | Геометрия 7-9 класс #74 | ИнфоурокСкачать

Вписанная окружность  | Геометрия 7-9 класс #74 | Инфоурок

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Вписанная окружностьСкачать

Вписанная окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать

9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

Первая замечательная точка треугольникаСкачать

Первая замечательная точка треугольника

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Пирамиды, в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружностиСкачать

Пирамиды,  в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружности
Поделиться или сохранить к себе: