Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС.

Доказать: около Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Точка О равноудалена от вершин Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАDС, Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС, откуда следует Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАDС + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника(Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАDС + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАDС + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаАВС = 360 0 , тогда Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВСDвнешний угол Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаСFD, следовательно, Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВFD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВFD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD и Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаFDE = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника(Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF), следовательно, Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВСDЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВЕD, тогда Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСDЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника(Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВЕD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВЕD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD = 360 0 , тогда Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСDЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСDЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника180 0 . Но это противоречит условию Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBАD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВСF: Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаС + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаF = 180 0 , откуда Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаС = 180 0 — ( Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаF). (2)

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF. (3)

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаF и Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВFD смежные, поэтому Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаF + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВFD = 180 0 , откуда Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаF = 180 0 — Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВFD = 180 0 — Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаС = 180 0 — (Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF + 180 0 — Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD) = 180 0 — Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF — 180 0 + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника(Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАDЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЕF), следовательно, Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаСЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаА = Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВЕD, тогда Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаА + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаСЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника(Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВЕD + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВАD). Но это противоречит условию Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаА + Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника
КвадратЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

ТрапецияЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

math4school.ru

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Четырёхугольники

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Основные определения и свойства

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Описанные четырёхугольники

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанные четырёхугольники

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Площадь вписанного четырёхугольника:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Параллелограмм

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через диагонали ромба и сторону:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Площадь ромба можно определить:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через сторону и угол ромба:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5

Прямоугольник

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Квадрат

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Радиус вписанной окружности:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Трапеция

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через диагонали и угол между ними:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Дельтоид

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
Центр и радиус окружности описанной около четырехугольникаЦентр и радиус окружности описанной около четырехугольника

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Ортодиагональные четырёхугольники

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Центр и радиус окружности описанной около четырехугольника

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

🎬 Видео

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружности

Окружность, описанная около четырёхугольникаСкачать

Окружность, описанная около четырёхугольника

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

2086 найдите радиус окружности описанной около прямоугольникаСкачать

2086 найдите радиус окружности описанной около прямоугольника

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16
Поделиться или сохранить к себе: