Например, докажем, что отрезки О1А1 и О2А2 в точке их пересечения В делятся пополам.
В силу равенства окружностей заключаем, что О2А1О3O — ромб и О1А2О3O — ромб. Отсюда вытекает, что отрезки О2А1, ОО3 и О1А2 параллельны и равны.
Поэтому О1А2А1О2 — параллелограмм и его диагонали O1A1 и О2А2 в точке пересечения В делятся пополам.
Видео:Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать
Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.
Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.
Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.
Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.
Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).
Теорема.
Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.
Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.
Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.
Следствие.
Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.
Теоремы.
1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.
2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.
Признаки различных случаев относительного положения окружностей.
Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.
Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:
1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .
2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.
3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.
4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.
5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,
d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.
2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.
3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.
4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.
5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.
Видео:Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8Скачать
Даны три попарно пересекающиеся окружности. Докажите, что три прямые, каждая из которых проходит через две точки пересечения двух окружностей, пересекаются в одной точке.
Видео:Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 28-33 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8Скачать
Ваш ответ
Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
решение вопроса
Видео:Деление окружности на 3 частиСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,937
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
💡 Видео
Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать
Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать
Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич| Уроки геометрии 7-8Скачать
ЕГЭ 2021 Математика. Метод площадей. Теорема Чевы. Вневписанная окружностьСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Биссектрисы пересекаются в одной точке| Задачи 21-27 | Решение задач | Волчкевич|Уроки геометрии 7-8Скачать
Теорема о трёх медианахСкачать
22 Медианы треугольника пересекаются в одной точкеСкачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.Скачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Знакомство с окружностью | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать
Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать
Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать
