Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Углы, связанные с окружностью
Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВписанные и центральные углы
Если вписанные углы равны то можно описать окружностьУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Если вписанные углы равны то можно описать окружностьДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность
Вписанный уголЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность
Угол, образованный касательной и секущейЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность
Угол, образованный двумя касательными к окружностиЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Если вписанные углы равны то можно описать окружность
Формула: Если вписанные углы равны то можно описать окружность
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Если вписанные углы равны то можно описать окружность
Формула: Если вписанные углы равны то можно описать окружность
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

В этом случае справедливы равенства

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

В этом случае справедливы равенства

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС.

Доказать: около Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Точка О равноудалена от вершин Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьАDС, Если вписанные углы равны то можно описать окружностьD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС, откуда следует Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьАDС + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС = Если вписанные углы равны то можно описать окружность(Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАDС + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАDС + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьАВС = 360 0 , тогда Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВСDвнешний угол Если вписанные углы равны то можно описать окружностьСFD, следовательно, Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВFD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВFD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD и Если вписанные углы равны то можно описать окружностьFDE = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF = Если вписанные углы равны то можно описать окружность(Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF), следовательно, Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВСDЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD.

Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВЕD, тогда Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСDЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность(Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВЕD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВЕD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD = 360 0 , тогда Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСDЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСDЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность180 0 . Но это противоречит условию Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBАD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

По теореме о сумме углов треугольника в Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВСF: Если вписанные углы равны то можно описать окружностьС + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьF = 180 0 , откуда Если вписанные углы равны то можно описать окружностьС = 180 0 — ( Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьF). (2)

Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВ = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF. (3)

Если вписанные углы равны то можно описать окружностьF и Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВFD смежные, поэтому Если вписанные углы равны то можно описать окружностьF + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВFD = 180 0 , откуда Если вписанные углы равны то можно описать окружностьF = 180 0 — Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВFD = 180 0 — Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Если вписанные углы равны то можно описать окружностьС = 180 0 — (Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF + 180 0 — Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD) = 180 0 — Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF — 180 0 + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD = Если вписанные углы равны то можно описать окружность(Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВАDЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕF), следовательно, Если вписанные углы равны то можно описать окружностьСЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD.

Если вписанные углы равны то можно описать окружностьА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если вписанные углы равны то можно описать окружностьА = Если вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьВЕD, тогда Если вписанные углы равны то можно описать окружностьА + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьСЕсли вписанные углы равны то можно описать окружностьЕсли вписанные углы равны то можно описать окружность(Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВЕD + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьВАD). Но это противоречит условию Если вписанные углы равны то можно описать окружностьА + Если вписанные углы равны то можно описать окружностьС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Если вписанные углы равны то можно описать окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Задача 6 №27885 ЕГЭ по математике. Урок 122Скачать

Задача 6 №27885 ЕГЭ по математике. Урок 122

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

📹 Видео

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Как понять центральные и вписанные углыСкачать

Как понять центральные и вписанные углы

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные
Поделиться или сохранить к себе: