Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Описанная окружность
- Доказательство
- Доказательство
- Доказательство
- Доказательство
- Доказательство
- Геометрия. Урок 5. Окружность
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
- Дуга в окружности
- Углы в окружности
- Длина окружности, длина дуги
- Площадь круга и его частей
- Теорема синусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- 📹 Видео
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами | |||||
Формула: | |||||
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга | |||||
Формула: | |||||
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | |||||
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания | |||||
Формула: | |||||
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей | |||||
Формула: | |||||
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | |||||
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности | |||||
Формулы: | |||||
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать Описанная окружностьОкружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности. Теорема
ДоказательствоДано: произвольный АВС. Доказать: около АВС можно описать окружность. Доказательство: 1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2). Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана. Замечание 1
ДоказательствоПредположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать. Замечание 2
ДоказательствоРассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать. Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:
ДоказательствоРассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4). Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В = АDС, D = АВС, откуда следует В + D = АDС + АВС = (АDС + АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. АDС + АВС = 360 0 , тогда В + D = 360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать. Верно и обратное утверждение:
ДоказательствоДано: четырехугольник АВСD, BАD + BСD = 180 0 . Доказать: около АВСD можно описать окружность. Доказательство: Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6). ВСD — внешний угол СFD, следовательно, BСD = ВFD + FDE. (1) Углы ВFD и FDE — вписанные. По теореме о вписанном угле ВFD = ВАD и FDE = ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: BСD = ВАD + ЕF = (ВАD + ЕF), следовательно, ВСDВАD. BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD). Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. ВЕD + ВАD = 360 0 , тогда BАD + BСD360 0 = 180 0 . Итак, мы получили, что BАD + BСD180 0 . Но это противоречит условию BАD + BСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7). По теореме о сумме углов треугольника в ВСF: С + В + F = 180 0 , откуда С = 180 0 — ( В + F). (2) В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В = ЕF. (3) F и ВFD — смежные, поэтому F + ВFD = 180 0 , откуда F = 180 0 — ВFD = 180 0 — ВАD. (4) Подставим (3) и (4) в (2), получим: С = 180 0 — (ЕF + 180 0 — ВАD) = 180 0 — ЕF — 180 0 + ВАD = (ВАD — ЕF), следовательно, СВАD. А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле А = ВЕD, тогда А + С(ВЕD + ВАD). Но это противоречит условию А + С =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать. Примечание: Окружность всегда можно описать: Поделись с друзьями в социальных сетях: Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать Геометрия. Урок 5. ОкружностьСмотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись! Содержание страницы:
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать Определение окружностиОкружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности . Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать Отрезки в окружностиРадиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ). O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр. Теорема 1: Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности. Теорема 2: Теорема 3: Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать Дуга в окружностиЧасть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности . Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B . Теорема 4: Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D Видео:Задача 6 №27885 ЕГЭ по математике. Урок 122Скачать Углы в окружностиВ окружности существует два типа углов: центральные и вписанные. Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности. ∠ A O B – центральный. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается. Градусная мара всей окружности равна 360 ° . Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. ∠ A C B – вписанный. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α Теорема 5: ∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2 Теорема 6: ∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 ° Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Длина окружности, длина дугиМы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α . Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α . Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси. Длина окружности находится по формуле: Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна: l α = π R 180 ∘ ⋅ α Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать Площадь круга и его частейТеперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента. Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности. Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри. Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо. Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка. Площадь круга находится по формуле: S = π R 2 Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер. Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу. Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы. Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой. S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать Теорема синусовЕсли вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов: a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности. Видео:Вписанные и центральные углыСкачать Примеры решений заданий из ОГЭМодуль геометрия: задания, связанные с окружностями. 📹 Видео8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать Как понять центральные и вписанные углыСкачать Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать №1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать |