Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Докажите, что биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей взаимно перпендикулярны

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углы

Ваш ответ

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

решение вопроса

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,680
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 классСкачать

УГЛЫ: Односторонние, Накрест Лежащие, Внутренние, Внешние // Теорема об углах — Геометрия 7 класс

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Видео:Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Видео:№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Видео:Пары углов в геометрииСкачать

Пары углов в геометрии

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей

  • Вначале следует отметить на прямой а произвольную точку, обозначив ее С1.
  • Далее можно провести через С1 линию с, перпендикулярную а.
  • Затем через точку А нужно начертить АС2, которая параллельна с.
  • После этого следует предположить о существовании перпендикуляра, который вместе с АС2 пересекает линию а с образованием третьего отрезка АС3.
  • Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

    Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

    Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

    №203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

    Построение параллелограмма

    Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

    Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей

    Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

    Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

  • По построению AB=BD=AD.
  • Следовательно, AB=CD.
  • Точки C и D равноудалены от A и B.
  • Отрезки AB и CD параллельны.
  • Полученная фигура ABCD представляет собой параллелограмм, так как ее стороны попарно равны и параллельны.

    Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

    Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

    Видео:№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

    №211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

    Внутренние односторонние углы

    Еще один вид углов, образованных при пересечении двух прямых секущей — внутренние односторонние углы.

    Две прямые разбивают плоскость на части. Та часть, которая лежит между прямыми — внутренняя. Углы, которые расположены в этой части, так и называются — внутренние. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат внутри между прямыми по одну сторону от секущей (поэтому они так и называются).

    При пересечении двух прямых секущей образуется две пары внутренних односторонних углов.

    Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей∠1 и ∠2

    ∠3 и ∠4

    — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c.

    Наибольший интерес вызывают внутренние накрест лежащие углы, образованные параллельными прямыми.

    Свойство параллельных прямых

    Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180º.

    Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущейЕсли a ∥ b, то

    ∠1 + ∠2 = 180º

    (как внутренние односторонние при a ∥ b и секущей c).

    Признак параллельных прямых

    Если сумма внутренних односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

    Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей ∠3 + ∠4 =180º

    А так как эти углы — внутренние односторонние при a и b и секущей c,

    то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

    Могут ли быть внутренние односторонние углы равны?

    Да. Внутренние односторонние углы равны, если прямые параллельны, а секущая им перпендикулярна.

    Биссектрисы внутренних односторонних углов образованных при пересечении параллельных прямых секущей ∠1 и ∠2 — внутренние односторонние углы при прямых a и b и секущей c

    ∠1 = ∠2

    тогда и только тогда, когда a ∥ b, а секущая c перпендикулярна и прямой a, и прямой b.

    💥 Видео

    Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

    Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

    Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

    Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей  Задачи на признаки параллельност

    Углы, образованные параллельными прямыми и секущейСкачать

    Углы, образованные параллельными прямыми и секущей

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

    ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

    Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

    Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.Скачать

    Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.

    Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

    Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.Скачать

    Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

    7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

    7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

    Планиметрия. Углы. Часть 3. Углы при параллельных прямых и секущей. Подготовка к ОРТ по математике.Скачать

    Планиметрия. Углы. Часть 3. Углы при параллельных прямых и секущей. Подготовка к ОРТ по математике.
  • Поделиться или сохранить к себе: