Три окружности вписать в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Три окружности вписать в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Три окружности вписать в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Три окружности вписать в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Содержание
  1. Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
  2. Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  3. Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
  4. Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
  5. 1. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь и полупериметр треуольника
  6. 2. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны все три стороны треугольника
  7. 3. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны две стороны и угол между ними
  8. 4. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны сторона и прилежащие два угла
  9. math4school.ru
  10. Треугольники
  11. Основные свойства
  12. Равенство треугольников
  13. Подобие треугольников
  14. Медианы треугольника
  15. Биссектрисы треугольника
  16. Высоты треугольника
  17. Серединные перпендикуляры
  18. Окружность, вписанная в треугольник
  19. Окружность, описанная около треугольника
  20. Расположение центра описанной окружности
  21. Равнобедренный треугольник
  22. Равносторонний треугольник
  23. Прямоугольный треугольник
  24. Вневписанные окружности
  25. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Видео:Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Как  поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Три окружности вписать в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Три окружности вписать в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Три окружности вписать в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Три окружности вписать в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Три окружности вписать в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Три окружности вписать в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Три окружности вписать в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Три окружности вписать в треугольник.

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Три окружности вписать в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникТри окружности вписать в треугольник
Равнобедренный треугольникТри окружности вписать в треугольник
Равносторонний треугольникТри окружности вписать в треугольник
Прямоугольный треугольникТри окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Три окружности вписать в треугольник.

Три окружности вписать в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Три окружности вписать в треугольник.

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Три окружности вписать в треугольник

Произвольный треугольник
Три окружности вписать в треугольник
Равнобедренный треугольник
Три окружности вписать в треугольник
Равносторонний треугольник
Три окружности вписать в треугольник
Прямоугольный треугольник
Три окружности вписать в треугольник
Произвольный треугольник
Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Три окружности вписать в треугольник.

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Три окружности вписать в треугольник.

Равнобедренный треугольникТри окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Равносторонний треугольникТри окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникТри окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Три окружности вписать в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Три окружности вписать в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Три окружности вписать в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Три окружности вписать в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Три окружности вписать в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математике

1. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь и полупериметр треуольника

Пусть известна площадь S треугольника и полупериметр

( small p=frac )(1)

где a, b, c стороны треугольника (Рис.1).

Три окружности вписать в треугольник

Найдем радиус вписанной в треугольник окружности r.

Из центра O вписанной в треугольник окружности проведем перпендикуляры к сторонам треугольника. Все эти перпендикуляры равны радиусу r вписанной в треугольник окружности (Рис.2).

Три окружности вписать в треугольник

Прямыми OA, OB, OC разделим треугольник ABC на три треугольника: AOC, COB, AOB. Найдем площадь треугольников AOC, COB, AOB:

( small S_=frac cdot r cdot b ,) ( small S_=frac cdot r cdot c, ) ( small S_=frac cdot r cdot a )(2)
( small S=S_+S_+S_)( small =frac cdot r cdot b ) ( small +frac cdot r cdot c ) ( small +frac cdot r cdot a ) ( small =frac cdot r cdot ( a+b+c) )(3)
( small S=r cdot p. )(4)

Найдем радиус r вписанной в треугольник окружности из равенства (4):

( small r=frac. )(5)

Пример 1. Известны площадь ( small S=17 ) и полупериметр ( small p=10 ) треугольника. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.

Решение. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности воспользуемся формулой (5).

Подставим значения ( small S=17 ) и ( small p=10 ) в (5):

Три окружности вписать в треугольник

Ответ: Три окружности вписать в треугольник

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

2. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны все три стороны треугольника

Пусть известны три стороны треугольника: a, b, c. Найдем радиус вписанной в треугольник окружности (Рис.3).

Три окружности вписать в треугольник

Площадь треугольника по трем сторонам вычисляется из формулы:

Три окружности вписать в треугольник(6)

где полупериметр p вычисляется из формулы (1).

Подставляя (6) в (5), получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=sqrt<frac>, )(7)

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=15 ,; b=7, ; c=9.) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник найдем сначала полупериметр треугольника из формулы (1):

Три окружности вписать в треугольник

Подставим значения ( small a,; b, ; c, ; p ) в (7):

Три окружности вписать в треугольник

Ответ: Три окружности вписать в треугольник

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

3. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны две стороны и угол между ними

Пусть известны стороны b и c треугольника и угол A между ними (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Три окружности вписать в треугольник

Из теоремы косинусов найдем сторону a треугольника:

Три окружности вписать в треугольник(8)

Далее, для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности, воспользуемся формулой (7), где полупериметр p вычисляется из (1).

Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=9 ,; c=7, ; ) и угол меджу ними A=30°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник найдем сначала сторону a треугольника из формулы (8):

Три окружности вписать в треугольник

Далее найдем p из формулы (1):

Три окружности вписать в треугольник

Подставим значения ( small a,; b, ; c, ; p ) в (7):

Три окружности вписать в треугольник

Ответ: Три окружности вписать в треугольник

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

4. Радиус вписанной в треугольник окружности, если известны сторона и прилежащие два угла

Пусть известны сторона a треугольника и прилежащие два угла B и C (Рис.5). Найдем радиус вписанной в треугольник окружности.

Три окружности вписать в треугольник
Три окружности вписать в треугольник
Три окружности вписать в треугольник
Три окружности вписать в треугольник(9)

Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то имеем ( small angle A=180°-(angle B+angle C). ) Из формул приведения тригонометрических функций имеем: ( small sin A=sin (180°-( B+ C)) ) ( small =sin (B+C). ) Тогда формулы (9) можно переписать так:

Три окружности вписать в треугольник(10)

Получая значения сторон b, c из (10) и значение p из (1), можно найди радиус вписанной в треугольник окружности из формулы (7). Таким образом, для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности через сторону и прилежащим двум углам применяется формула

Три окружности вписать в треугольник(11)
Три окружности вписать в треугольник(12)
Три окружности вписать в треугольник,(13)
Три окружности вписать в треугольник.(14)

Пример 4. Сторона треугольника равена: ( small a=7 ,) а прилежащие два угла равны соответственно ( small angle B=25°, ) ( small angle C=40°, ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Найдем, сначала, стороны b и c из формул (12),(13). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small angle B=25°, ) ( small angle C=40°, ) в (12) и (13):

Три окружности вписать в треугольник.

Далее найдем полупериметр p из формулы (14):

Три окружности вписать в треугольникТри окружности вписать в треугольник.

Подставляя значения a, b, c, p в (11), получим:

Три окружности вписать в треугольник

Ответ: Три окружности вписать в треугольник

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

math4school.ru

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Видео:✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис ТрушинСкачать

✓ Три окружности | Планиметрия | Олимпиада Ломоносов-2020 | Борис Трушин

Треугольники

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Основные свойства

Три окружности вписать в треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Три окружности вписать в треугольник

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Три окружности вписать в треугольник

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Три окружности вписать в треугольник

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Равенство треугольников

Три окружности вписать в треугольник

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Три окружности вписать в треугольник

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Три окружности вписать в треугольник

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Подобие треугольников

Три окружности вписать в треугольник

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Три окружности вписать в треугольник

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Три окружности вписать в треугольник

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Три окружности вписать в треугольник

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частейСкачать

Деление окружности на 3, 4, 5, 6 и 7 равных частей

Медианы треугольника

Три окружности вписать в треугольник

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Три окружности вписать в треугольник

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Три окружности вписать в треугольник

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Биссектрисы треугольника

Три окружности вписать в треугольник

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Три окружности вписать в треугольник

Длина биссектрисы угла А :

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС

Высоты треугольника

Три окружности вписать в треугольник

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Три окружности вписать в треугольник

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Серединные перпендикуляры

Три окружности вписать в треугольник

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Окружность, вписанная в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Три окружности вписать в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Три окружности вписать в треугольник

Видео:4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangleСкачать

4K Как вписать окружность в треугольник, inscribed circle for triangle

Окружность, описанная около треугольника

Три окружности вписать в треугольник

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Три окружности вписать в треугольник

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Расположение центра описанной окружности

Три окружности вписать в треугольникТри окружности вписать в треугольникТри окружности вписать в треугольникЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Равнобедренный треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Три окружности вписать в треугольник

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Три окружности вписать в треугольник

Равносторонний треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Три окружности вписать в треугольник

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Три окружности вписать в треугольник

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Три окружности вписать в треугольник

Прямоугольный треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Три окружности вписать в треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Три окружности вписать в треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Три окружности вписать в треугольник

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Три окружности вписать в треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Три окружности вписать в треугольник

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Три окружности вписать в треугольник

через катет и острый угол: Три окружности вписать в треугольник

через гипотенузу и острый угол: Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

Радиус вписанной окружности:

Три окружности вписать в треугольник

Вневписанные окружности

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rТри окружности вписать в треугольник

для R – Три окружности вписать в треугольник

для S – Три окружности вписать в треугольник

для самих ra , rb , rсТри окружности вписать в треугольник

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Три окружности вписать в треугольник

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Три окружности вписать в треугольник

Три окружности вписать в треугольник

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Три окружности вписать в треугольник

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Три окружности вписать в треугольник

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Поделиться или сохранить к себе: