Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Треугольник вписанный в окружность
- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
- 📺 Видео
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
Формула: |
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
Формула: |
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Треугольник вписанный в окружностьВидео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать Определение
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности. O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать ФормулыРадиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной окружности в треугольник, Радиус вписанной окружности в треугольник, Радиус описанной окружности около треугольника
Радиус описанной окружности около треугольника, Радиус описанной окружности около треугольника, Площадь треугольника
Площадь треугольника вписанного в окружность, Площадь треугольника вписанного в окружность, Площадь треугольника вписанного в окружность, Площадь треугольника вписанного в окружность, [ S = fracab cdot sin angle C ] Периметр треугольника
Периметр треугольника вписанного в окружность, Периметр треугольника вписанного в окружность, Сторона треугольника
Сторона треугольника вписанного в Средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника вписанного в окружность, Высота треугольника
Высота треугольника вписанного в окружность, [ h = b cdot sin alpha ] Высота треугольника вписанного в окружность, Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать Свойства
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать Доказательство
окружность и треугольник, окружность описана
окружность описана около треугольника,
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусовВписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника. Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник. Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам? В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники. Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов. Вот еще две формулы для площади. — радиус окружности, вписанной в треугольник. Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части : где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности. Для любого треугольника верна теорема синусов: Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями! . Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите . Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна . Запишем площадь треугольника АВС двумя способами: Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда . В ответ запишем . . Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. По теореме синусов, Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен . . Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами. , где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда . Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания . 📺 Видео8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать 3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать |