Вычисление углов треугольника формулы

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).

Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.

Формула тангенса

• tg α — тангенс угла α
• a — противолежащий катет
• b — прилежащий катет

Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Углы треугольника

Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:

Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.

Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:

Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.

У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.

Видео:расчет углов треугольникаСкачать

Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Виды треугольников

1. Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

2. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.

   Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

3. Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)

4. Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).

5. Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.

6. Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
3. Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:

• $$ AB BC — CA $$
• $$ BC AB — CA $$
• $$ CA AB — BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

AB = DE и BC = EF и AC = DF

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;

∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;

AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

Гипотенуза и острый угол.

BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

Катет и противолежащий угол.

AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

Катет и прилежащий угол.

AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

AB = DE и AC = DF

Гипотенуза и катет.

AB = DE и BC = EF

AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

Признаки подобия треугольников

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
• Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (K_{подобия}) $$ <S_over S_> = К_^2 $$
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

• Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
• Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
• Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника

Площадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$

Площадь треугольника по двум углам и стороне

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

$$ S = * AB * AC $$

Площадь равнобедренного треугольника

$$ S = * sqrt $$

Площадь равностороннего треугольника

$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$

Стороны треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

Сторона треугольника по стороне и двум углам

Сторона прямоугольного треугольника

$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

Сторона равнобедренного треугольника

$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, h_AC

$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$

Высота на сторону AB, h_AB

$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$

Высота на сторону BC, h_BC

$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, h_AC

Высота на сторону AB, h_AB

Высота на сторону BC, h_BC

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$

Формула длины высоты через катет и угол

$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Длина биссектрисы через две стороны и угол

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

Длина биссектрисы через три стороны

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

Длина биссектрисы через катет и угол

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Длина медианы через три стороны

Длина медианы через две стороны и угол между ними

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

Длина медианы через катеты

Длина медианы через катет и острый угол

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt

> $$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

$$ R = <AB^2 over sqrt> $$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

$$ R = * sqrt = $$

Длина окружности, L

Площадь окружности, S

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам

$$ R = sqrt <

over P> $$

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник

$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Видео:Найдите угол: задача по геометрииСкачать

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎦 Видео

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать