Трапеция описанная около окружности ав 7 вс 5

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет frac площади трапеции ABCD.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

а)

Окружность вписана в углы: ∠ВAD, ∠ADC, ∠DCB и ∠CBA. Центр окружности, которая вписана в угол, расположен на биссектрисе этого угла, значит АО, DO, СО, ВО – биссектрисы и делят соответствующие углы пополам.

∠ВAD + ∠CBA = 180°
∠ADC + ∠DCB = 180°

Как односторонние углы, при параллельных прямых AD||ВС (основания трапеции) и секущих AB и СD соответственно.
Зная о биссектрисах поделим всё на 2:

Рассмотрим треугольники ΔАВО и ΔDCO, сумма углов любого треугольника равна 180°, тогда:

∠AOB = ∠COD = 90°

Что и требовалось доказать.

б) Найти: frac , если АВ = СD, S_=fraccdot S_ :

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны:

BM = BK
CM = CN
AK = AL
DL = DN

Т.к. AB = CD, то:

BK = СN = BM = CM = x
AK = DN = AL = DL = y

Проведём радиусы из точки О к касательным ВС и AD, тогда ОМ⊥ВС, OL⊥AD, точка О∈OM, O∈OL, значит МL это одна прямая и высота трапеции:

Проведём ещё одну высоту трапеции СН:

MC = LH, МCHL – прямоугольник, значит MC = LH = x , найдём HD:

HD = LD – LH = y – x

Из прямоугольного ΔСHD по теореме Пифагора найдём СН:

СН 2 + HD 2 = CD 2
CH 2 + (y – x) 2 = (y + x) 2
CH 2 = (y + x) 2 – (y – x) 2 = y 2 + 2xy + x 2 – y 2 + 2xy – x 2 = 4xy
CH=sqrt=2sqrt

Выразим площадь S_{ABCD :}

В четырёхугольнике проведём KMNL диагональ KN, прямые ВС и KN отсекают равные отрезки ВК = СN = x, значит они по теорема Фалеса параллельны ВС||KN, т.к. BC⊥LM, то KM⊥ML, значит угол между диагоналями ∠MSK = 90°.
Диагональ ML = 2sqrt , как высота трапеции.
Проведём BF||CD и пересекающая KN в точке Е. BCDF – параллелограмм, значит EN = BC = 2x.

ΔАВF подобен ΔВКЕ (∠В – общий, ∠ВКЕ = ∠ВАF – соответственные). Из пропорциональности сторон найдём КЕ:

Найдём диагональ KN:

Выразим площадь S_KMNL :

S_=fraccdot MLcdot KNcdot sin angle MSK=fraccdot 2sqrtcdot fraccdot sin 90^=sqrtcdot fraccdot 1= frac<4xysqrt>

Подставим выраженные площади с исходное отношение:

Т.к. у нас у большее основание, а х меньшее, то их отношение равно 6.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Видео:ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Около трапеции АВСD с основаниями ВС = 5, АD = 7 И боковыми сторонами АВ = CD = 12 Можно описать окружность?

Геометрия | 5 — 9 классы

Около трапеции АВСD с основаниями ВС = 5, АD = 7 И боковыми сторонами АВ = CD = 12 Можно описать окружность.

Верное ли утверждение?

Верное, потому чтоописать можно вокруг любой равнобедренной трапеции.

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Равнобедренная трапецияРавнобокой (равнобедренной) называется трапеция с равными боковыми сторонами?

Равнобокой (равнобедренной) называется трапеция с равными боковыми сторонами.

Свойства равнобедренной трапеции

Диагонали равнобедренной трапеции равны .

Углы при одном основании равнобедренной трапеции равны.

Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность ; она совпадает с окружностью, описанной около любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции.

Её центр лежит на серединном перпендикуляре к основаниям трапеции.

Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

1. Найдите длину меньшего основания равнобедренной трапеции, если боковые стороны равны по 13 см, а большее основание — 20 см.

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 27 и 4?

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 27 и 4.

Найдите среднюю линию трапеции.

Видео:Вся геометрия 7-9 класса в 5 задачах | Математика | TutorOnlineСкачать

Трапеция ABCD описана около окружности с центром О?

Трапеция ABCD описана около окружности с центром О.

Боковая сторона трапеции равна 8 см, а угол при основании равен 60 градусам.

Найдите радиус окружности.

Видео:16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м?

Равнобокая трапеция с боковой стороной 5 м описана около окружности с радиусом 2 м.

Найти 1)основание трапеции, 2) радиус описанной окружности.

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Равнобедренная трапеция с основаниями 5 и 11 описана около окружности?

Равнобедренная трапеция с основаниями 5 и 11 описана около окружности.

Найдите боковую сторону трапеции.

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Площадь равнобедренной трапеции описанной около окружности = 32, угол при основании = 30 градусов найдите длину боковой стороны?

Площадь равнобедренной трапеции описанной около окружности = 32, угол при основании = 30 градусов найдите длину боковой стороны.

Видео:2113 Боковые стороны трапеции описанной около окружности равны 16 и 3 Найдите среднюю линию трапецииСкачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 23 и 3?

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 23 и 3.

Найдите среднюю линию трапеции.

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 23 и 3?

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 23 и 3.

Найдите среднюю линию трапеции.

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Около окружности описана равнобедренная трапеция Периметр которой равен 24см?

Около окружности описана равнобедренная трапеция Периметр которой равен 24см.

Найдите боковую сторону трапеции.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 23 и 3?

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 23 и 3.

Найдите среднюю линию трапеции.

На этой странице находится ответ на вопрос Около трапеции АВСD с основаниями ВС = 5, АD = 7 И боковыми сторонами АВ = CD = 12 Можно описать окружность?, из категории Геометрия, соответствующий программе для 5 — 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

🎦 Видео

Урок №5 /ОГЭ-2020.Новые задачи по геометрии на углы$ Трапеция и вписанная окружность.Скачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ #математика #егэ #shorts #профильныйегэСкачать

2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линиюСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать