Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площади фигур

Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание:

Содержание
  1. Понятие площади
  2. Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника
  3. Площади треугольников
  4. Площади четырехугольников и многоугольников
  5. Пример:
  6. Многоугольник — определение и вычисление с примерами решения
  7. Определение многоугольников
  8. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника
  9. Площадь параллелограмма
  10. Площадь треугольника
  11. Пример №1
  12. Площадь трапеции
  13. Равносоставленные и равновеликие многоугольники
  14. Теорема Чевы
  15. Ломанная линия и многоугольники
  16. Внутренние и внешние углы многоугольника
  17. Пример №2
  18. Многоугольники вписанные в окружность и описанные около окружности
  19. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около нее
  20. Свойства четырехугольников, вписанных в окружность и описанного около нее
  21. Площадь правильного многоугольника
  22. Пример №3
  23. Паркетирование
  24. Справочный материал по многоугольникам
  25. Пример №4
  26. Пример №5
  27. Многоугольник и его свойства
  28. Понятие площади
  29. Формулы площадей фигур
  30. Формулы площади треугольника
  31. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  32. Формула площади треугольника по трем сторонам
  33. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  34. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  35. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  36. Формулы площади квадрата
  37. Формула площади квадрата по длине стороны
  38. Формула площади квадрата по длине диагонали
  39. Формула площади прямоугольника
  40. Формулы площади параллелограмма
  41. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
  42. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
  43. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
  44. Формулы площади ромба
  45. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
  46. Формула площади ромба по длине стороны и углу
  47. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
  48. Формулы площади трапеции
  49. Формула Герона для трапеции
  50. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
  51. Формулы площади дельтоида
  52. Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними
  53. Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними
  54. Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности
  55. Формула площади дельтоида по двум диагоналям
  56. Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника
  57. Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
  58. Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
  59. Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)
  60. Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью
  61. Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями
  62. Формулы площади круга
  63. Формула площади круга через радиус
  64. Формула площади круга через диаметр
  65. Площадь сегмента круга
  66. Площадь кругового сегмента через угол в градусах.
  67. Площадь кругового сегмента через угол в радианах.
  68. Формула площади эллипса
  69. 📸 Видео

Понятие площади

Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковчитается как «площадь фигуры F».

Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(квадратный метр).

Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников). Тогда запись Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковозначает, что площадь фигуры равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

Можно сфорулировать свойства измерения площади.

1. Всякий многоугольник F имеет площадь Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковдля любой фигуры F.

Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковФигура R — их объединение. В этом случае Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

Свойство измерения площади квадрата.

5. Площадь квадрата со стороной Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

где Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— стороны прямоугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

где Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— катеты прямоугольного треугольника.

Площади треугольников

Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

где Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— стороны треугольника, а р — его полупериметр, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

где Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— стороны ААВС, а Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угол между этими сторонами.

Площади четырехугольников и многоугольников

Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

ABCD — параллелограмм, AD = ВС = Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, AM = CN = h (рис. 2.144).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Пример:

Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

2. AD = DC. (рис. 2.149)

3. DE || ВС, DF || АВ.

4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

7. Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравны (BD — общая сторона, Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

8. Эти треугольники и равновелики.

9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

10. Аналогично равновелики между собой и Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

11. Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковследовательно, площади Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови параллелограмма BEDF можно записать так: Теоремы о площади треугольников и четырехугольникова Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(8, 10, свойства площадей).

12. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(11).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Теоремы о площади треугольников и четырехугольников Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Многоугольник — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Изучив материал этой лекции, вы узнаете формулу, с помощью которой можно найти сумму углов выпуклого многоугольника.

  • Вы расширите свои представления о такой знакомой вам величине, как площадь.
  • Вы научитесь находить площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Определение многоугольников

Рассмотрим фигуру, состоящую из точек Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 195 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковназывают многоугольником. Точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковназывают вершинами многоугольника, а указанные выше отрезки — сторонами многоугольника.

Стороны, являющиеся соседними отрезками, называют соседними сторонами многоугольника. Вершины, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами многоугольника.

Две соседние стороны многоугольника образуют угол многоугольника. Например, на рисунке 196 Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— углы многоугольника, а Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковне является углом многоугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольник называют по количеству его углов: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т. п.

Многоугольник обозначают по его вершинам. Например, на рисунке 197 изображен пятиугольник ABCDE. В обозначении многоугольника буквы, стоящие рядом, соответствуют соседним вершинам. Например, пятиугольник, изображенный на рисунке 197, можно обозначить еще и так: CDEAB, EABCD, EDCBA и т. д.

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон.

Отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, называют диагональю. Например, на рисунке 198 отрезок АЕ — диагональ шестиугольника ABCDEF.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

На рисунке 199 изображен многоугольник, все углы которого меньше развернутого. Такой многоугольник называют выпуклым. Из сказанного следует, что любой треугольник является выпуклым многоугольником. Заметим, что многоугольники, изображенные на рисунках 196-198, не являются выпуклыми.

Выпуклый многоугольник обладает такими свойствами:

  1. выпуклый многоугольник расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 200);
  2. выпуклый многоугольник, отличный от треугольника, содержит любую свою диагональ (рис. 201).

Если многоугольник не является выпуклым, то он такими свойствами не обладает (рис. 198, 202).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 19.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство. Для случая n = 3 теорема была доказана в 7 классе (теорема 16.1).

Пусть Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковНа рисунке 203 изображен выпуклый n-угольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Докажем, что сумма всех его углов равна 180° (n-2).

Проведем все его диагонали, выходящие из вершины Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковЭти диагонали разбивают данный многоугольник на (n — 2) треугольника. Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов n-угольника. Поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°, то искомая сумма равна 180° (n — 2).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Отметим, что эта теорема справедлива и для любого многоугольника, не являющегося выпуклым.

Определение. Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 204 изображена окружность, описанная около многоугольника. В этом случае также говорят, что многоугольник вписан в окружность.

Центр окружности, описанной около многоугольника, равноудален от всех его вершин. Следовательно, этот центр принадлежит серединным перпендикулярам всех сторон многоугольника, вписанного в окружность.

Около многоугольника можно описать окружность, если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Следовательно, если серединные перпендикуляры всех сторон многоугольника пересекаются в одной точке, то около такого многоугольника можно описать окружность.

Определение. Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

На рисунке 205 изображена окружность, вписанная в многоугольник. В этом случае также говорят, что многоугольник описан около окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, равноудален от всех его сторон. Следовательно, этот центр принадлежит биссектрисам всех углов многоугольника, описанного около окружности.

Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника

С такой величиной, как площадь, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: площадь квартиры, площадь дачного участка, площадь поля и т. п.

Опыт подсказывает вам, что равные земельные участки имеют равные площади, что площадь квартиры равна сумме площадей всех ее помещений (комнат, кухни, коридора и т. д.).

Вы знаете, что площади земельных участков измеряют в сотках (арах) и гектарах; площади регионов и государств — в квадратных километрах; площадь квартиры — в квадратных метрах.

На этих практических знаниях о площади основывается определение площади многоугольника.

Определение. Площадью многоугольника называют положительную величину, которая обладает следующими свойствами:

  1. равные многоугольники имеют равные площади;
  2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
  3. за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, то есть квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Измерить площадь многоугольника — это значит сравнить его площадь с площадью единичного квадрата. В результате получают числовое значение площади данного многоугольника. Это число показывает, во сколько раз площадь данного многоугольника отличается от площади единичного квадрата.

Например, если клетку вашей тетради принять за единичный квадрат, то площадь многоугольника, изображенного на рисунке 207, будет равна 11 квадратным единицам (кратко записывают: 11 ед. 2 ).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Обычно для нахождения площади используют формулы, то есть вычисляют площадь многоугольника по определенным элементам (сторонам, диагоналям, высотам и т. д.). Некоторые из формул вы уже знаете. Например, вы неоднократно применяли формулу S = ab, где S — площадь прямоугольника, а и b — длины его соседних сторон.

Для доказательства этой формулы потребуется следующая лемма.
Лемма. Площадь квадрата со стороной Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковед. (n — натуральное число) равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство. Рассмотрим единичный квадрат и разделим его на Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравных квадратов со стороной Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(рис. 208).
Из определения площади многоугольника (свойство 1) следует, что все эти квадраты имеют равные площади. По свойству 2 сумма площадей этих квадратов равна площади единичного квадрата, то есть 1 ед. 2 . Поэтому площадь каждого маленького квадрата равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 20.1. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Доказательство. На рисунке 209 изображен прямоугольник ABCD, длины соседних сторон которого равны a и b: АВ = а, ВС = b. Докажем для случая, когда а и b — рациональные числа, что площадь S прямоугольника вычисляют по формуле S = ab.

Числа а и b представим в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:
Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковгде Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— натуральные числа.
Разделим сторону АВ на р равных частей, а сторону ВС — на q равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Тогда прямоугольник будет разделен на Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравных квадратов со стороной Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Согласно лемме площадь каждого квадрата равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковИз определения площади (свойство 2) следует, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов, то есть Теоремы о площади треугольников и четырехугольников
Рассмотрение случая, когда хотя бы одно из чисел а или b является иррациональным, выходит за рамки школьного курса геометрии.

Определение. Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Из определения площади (свойство 1) следует, что все равные фигуры равновелики. Однако не все фигуры, имеющие равные площади, являются равными. Например, на рисунке 210 изображены два многоугольника, каждый из которых составлен из семи единичных квадратов. Эти многоугольники равновелики, но не равны.

Площадь параллелограмма

Теорема 21.1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство. На рисунке 214 изображены параллелограмм ABCD, площадь которого равна S, и его высота ВМ. Докажем, что S = ВС • ВМ.

Проведем высоту CN. Легко показать (сделайте это самостоятельно), что четырехугольник MBCN — прямоугольник. Покажем, что он равновелик данному параллелограмму.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольника АВМ и трапеции MBCD. Площадь прямоугольника равна сумме площадей указанной трапеции и треугольника DCN. Однако треугольники АВМ и DCN равны по гипотенузе и острому углу (отрезки АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма, углы 1 и 2 равны как соответственные при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD). Значит, эти треугольники равновелики. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN равновелики.

По теореме 20.1 площадь прямоугольника MBCN равна произведению длин сторон ВС и ВМ. Тогда S = ВС • ВМ, где S — площадь параллелограмма ABCD.

Для завершения доказательства надо рассмотреть случаи, когда основание М высоты ВМ не будет принадлежать стороне AD (рис. 215) или совпадет с вершиной D (рис. 216). И в этом случае параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN будут равновеликими. Докажите этот факт самостоятельно.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если обозначить длины стороны параллелограмма и проведенной к ней высоты соответственно буквами а и h, то площадь S параллелограмма вычисляют по формуле Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь треугольника

Теорема 22.1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство. На рисунке 220 изображены треугольник АВС, площадь которого равна S, и его высота ВМ. Докажем, что Теоремы о площади треугольников и четырехугольников
Через вершины В и С треугольника проведем прямые, параллельные сторонам АС и АВ соответственно (рис. 220). Пусть эти прямые пересекаются в точке N. Четырехугольник ABNC — параллелограмм по определению. Треугольники АВС и NCB равны (докажите это самостоятельно). Следовательно, равны и их площади. Тогда площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABNC. Высота ВМ треугольника АВС является также высотой параллелограмма
ABNC. Отсюда Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если воспользоваться обозначениями для высот и сторон треугольника АВС, то согласно доказанной теореме имеем:
Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

где S — площадь треугольника.

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Решение:

На рисунке 221 изображен ромб ABCD, площадь которого равна S. Его диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Докажем, что Теоремы о площади треугольников и четырехугольников
Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, то отрезки АО и СО являются высотами треугольников BAD и BCD соответственно. Тогда можно записать:
Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь трапеции

Теорема 23.1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

Доказательство. На рисунке 224 изображена трапеция ABCD (AD||BC), площадь которой равна S. Отрезок CN — высота этой трапеции. Докажем, что Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Проведем диагональ АС и высоту AM трапеции. Отрезки AM и CN являются высотами треугольников АВС и ACD соответственно.

Имеем:
Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если обозначить длины оснований трапеции и ее высоты соответственно буквами Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковто площадь S трапеции вычисляют по формуле

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Равносоставленные и равновеликие многоугольники

Если некоторый многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие два многоугольника называют равносоставленными.

Например, если прямоугольник разрезать вдоль его диагонали (рис. 228), то получим два равных прямоугольных треугольника, из которых можно составить равнобедренный треугольник (рис. 229). Фигуры на рисунках 228 и 229 — равно составленные.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Очевидно, что равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Этот факт применяют при доказательстве теорем и решении задач. Например, доказывая теорему 21.1, мы фактически разрезали параллелограмм на треугольник АВМ и трапецию MBCD, из которых составили прямоугольник MBCN (см. рис. 215).

Если треугольник разрезать вдоль средней линии, то из полученных треугольника и трапеции можно составить параллелограмм (рис. 230).

Легко установить (сделайте это самостоятельно), что такое разрезание треугольника приводит к еще одному доказательству теоремы о площади треугольника (теорема 22.1). Этой же цели служит разрезание треугольника на части, из которых можно составить прямоугольник (рис. 231).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Евклид в своей знаменитой книге «Начала» формулирует теорему Пифагора так:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Если показать, что можно разрезать квадраты, построенные на катетах, на части и составить из этих частей квадрат со стороной, равной гипотенузе, то тем самым будет доказана теорема Пифагора.

На рисунке 232 показан один из возможных способов такого разрезания. Квадраты, построенные на катетах, разрезаны на части, площади которых равны Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковИз этих частей сложен квадрат, построенный на гипотенузе.

Из определения площади многоугольника следует, что равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Но совсем неочевидной является такая теорема.

Теорема. Любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными.

Впервые этот факт доказал в 1832 г. венгерский математик Фаркаш Бойяи. Позднее немецкий математик Пауль Гервин нашел другое доказательство. Поэтому эту теорему называют теоремой Бойяи—Гервина.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема Чевы

На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС отметим произвольные точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(рис. 234). Каждый из отрезков АЛ,, BBV СС, называют чевианой треугольника АВС. Такое название связано с именем итальянского инженера и математика Джованни Чевы (1648-1734), открывшего удивительную теорему.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковвыбраны так, что чевианы являются биссектрисами, либо медианами, либо высотами остроугольного треугольника, то эти чевианы пересекаются в одной точке.

Если три прямые пересекаются в одной точке, то их называют конкурентными.

Теорема Чевы дает общий критерий конкурентности произвольных трех чевиан.

Теорема. Для того чтобы, чевианы Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковтреугольника АВС пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников
Доказательство. Докажем сначала необходимое условие конкурентности: если чевианы Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпересекаются в одной точке, то выполняется равенство (*).

Воспользовавшись результатом ключевой задачи 757, можно записать (рис. 235):

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Перемножив записанные равенства, получим равенство (*).

Докажем теперь достаточное условие конкурентности: если выполняется равенство (*), то чевианы Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпересекаются в одной точке.

Пусть чевианы Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпересекаются в точке D, а чевиана, проходящая через вершину С и точку D, пересекает сторону АВ в некоторой точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковИз доказанного выше можно записать:
Теоремы о площади треугольников и четырехугольников
Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковто есть точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковделят отрезок АВ в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Следовательно, прямая CD пересекает сторону АВ в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Напомню:

Сумма углов выпуклого n-угольника
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n — 2).

Окружность, описанная около многоугольника
Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

Окружность, вписанная в многоугольник
Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Площадь многоугольника
Площадью многоугольника называют положительную величину,
которая обладает следующими свойствами:

  1. равные многоугольники имеют равные площади;
  2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
  3. за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, то есть квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Равновеликие многоугольники
Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты.

Площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь трапеции

  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.
  • Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Ломанная линия и многоугольники

Ломаная линия состоит из таких нескольких последовательно-соединенных отрезков: конец первого является началом второго, конец второго является началом третьего и т.д. Если конечная точка последнего отрезка совпадает с начальной точкой первого отрезка, то ломаная называется замкнутой. Многоугольник — это фигура, образованная замкнутой ломаной линией, в которой смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные — не пересекаются.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

  • Многоугольник — это плоская фигура.
  • Стороны состоят из конечного числа отрезков.
  • Многоугольник это замкнутая фигура, делящая плоскость на 2 части: внутреннюю замкнутую область и внешнюю бесконечную область.
  • Многоугольник обозначают буквами, указывающими его вершины.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольники бывают выпуклые и вогнутые. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой содержащей его сторону. Если не лежит в одной полуплоскости — вогнутым.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольник называется правильным, если у него все стороны все углы конгруэнтны.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

В многоугольнике количество вершин, сторон и углов одинаковые. Многоугольник с Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— сторонами называют еще и Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угольным.

Соответственно количеству сторон, многоугольники называются треугольными, четырехугольными, пятиугольными, шестиугольными т.д. Из любой вершины выпуклого Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угольника выходят Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковдиагонали.

Внутренние и внешние углы многоугольника

Угол, образованный двумя сторонами, исходящими из данной вершины называется внутренним углом при данной’ вершине выпуклого многоугольника. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника называется внешним. Сумма внутренних и внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) многоугольника при любой вершине равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 1. Сумма внутренних углов выкуплого Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Следствие: Каждый внутренний угол правильного Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угольника равен Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 2. Сумма внешних углов выкуплого многоугольника равен Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Следствие 2. Каждый внешний угол правильного Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угольника равен Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Пример №2

Один из внешних углов правильного многоугольника равен Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

a) найдите градусную меру внутреннего угла многоугольника;

b) найдите число сторон многоугольника.

Решение: а) Теоремы о площади треугольников и четырехугольников;

Внутренний угол: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

b) Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольники вписанные в окружность и описанные около окружности

Определение 1. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности, а окружность называется описанной около многоугольника. На рисунке треугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковвписан в окружность.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Определение 2. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник. На рисунке четырехугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковописан около окружности.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около нее

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 3. Если в окружность вписан прямоугольный треугольник, то гипотенуза является диаметром этой окружности.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Обратная теорема. Если сторона треугольника, вписанного в окружность, является диаметром, то этот треугольник — прямоугольный.

Доказательство 1-ой теоремы (текстовое). Проведем биссектрисы углов Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковтреугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови точку пересечения обозначим буквой Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Произвольная точка, взятая на биссектрисе находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Поэтому Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТочка Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковнаходится и на биссектрисе угла Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(почему?). Нарисуем окружность с центром в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови радиусом Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТак как стороны треугольника перпендикулярны радиусам Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковто в точках Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковони касаются окружности. А значит, эта окружность является вписанной в треугольник.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство 2-ой теоремы. Через середины сторон Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковтреугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпроведем перпендикуляры и точку их пересечения обозначим буквой Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Так как Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравнобедренный, то точка Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковнаходится и на серединном перпендикуляре стороны Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Окружность с центром в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови радиусом Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, пройдя через все вершины треугольника, будет описанной около нее.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Замечание: Около данного треугольника можно описать только одну окружность. В данную окружность можно вписать бесконечное количество треугольников.

Свойства четырехугольников, вписанных в окружность и описанного около нее

В отличие от треугольников, не во всякий четырехугольник можно вписать или описать окружность.

Теорема 4. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема 5. Сумма двух противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Обратная теорема. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство теоремы 4: Пусть точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковбудут точками касания сторон четырехугольника. По свойству касательных, проведенных из данной точки к окружности, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если сложить почленно эти равенства, получим Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковили же Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Отношение стороны треугольника, вписанного в окружность, к синусу противолежащего угла равно диаметру этой окружности: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Исследуйте данное доказательство для случая, когда центр окружности расположен внутри треугольника, обсудите и напишите в тетради.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

В любой правильный многоугольник можно вписать и описать окружность. Центры этих окружностей совпадут. Биссектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови образуют равнобедренные треугольники конгруэнтные показанному на рисунке Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(по признаку УСУ). Нарисуем окружность радиусом Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковс центром в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Эта окружность, пройдя через все вершины, будет описанной окружностью. Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковокружность с радиусом Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, касаясь всех сторон многоугольника, будет вписанной окружностью. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— радиус окружности, описанной около правильного Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-угольника, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-радиус вписанной окружности, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-сторона правильного Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-угольника, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— центральный угол

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Задача на построение: Постройте правильный шестиугольник.

1. Нарисуйте отрезок Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, равный стороне правильного шестиугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

2. Циркулем нарисуйте окружность, радиус которой равен длине этого отрезка.

3. Не меняя раствора циркуля, разбейте всю окружность на части одинаковой длины и отметьте их точками.

4. Соедините последовательно отмеченные точки. Получится правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если соединить попарно некоторые вершины правильного шестиугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, например, вершины Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, то получится правильный треугольник. Чтобы построить правильный четырехугольник, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра и последовательно соединить их концы. Если в окружность вписан правильный Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— угольник, то отметив точки пересечения серединных перпендикуляров с окружностью, получим точки являющиеся вершинами правильного Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-угольника.

Площадь правильного многоугольника

Центр правильного многоугольника. Центр окружности, описанного около правильного многоугольника или вписанного в него, является центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника находится на одинаковом расстоянии от всех вершин и всех сторон многоугольника.

Апофема правильного многоугольника. Перпендикуляр, проведенный из центра многоугольника к его стороне, называется апофемой. Апофема правильного многоугольника равна радиусу вписанной окружности.

Выполните следующее упражнение по шагам и выведите формулу зависимости площади правильного многоугольника от апофемы.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

1. Нарисуйте правильный пятиугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

2. Из центра Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпроведите перпендикуляр, делящий сторону Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпополам.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

3. Соедините точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковс центром Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

4. Выразите площадь треугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковпеременными Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Обратите внимание какому измерению многоугольника соответствует высота треугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

5. Соедините точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковс точкой Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Сравните площади полученных треугольников.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

6. Обратите внимание на то, что площадь пятиугольника равна сумме площадей этих треугольников. Площадь пятиугольника:

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников7. Какому измерению соответствует выражение Теоремы о площади треугольников и четырехугольников? Выразите площадь пятиугольника через его периметр.

Площадь правильного многоугольника:

Соединив центр правильного Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-угольника с вершинами, получится Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковколичество равнобедренных конгруэнтных треугольников. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-длина стороны многоугольника , Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-число сторон, Теоремы о площади треугольников и четырехугольников-апофема.

Пример №3

В окружность радиусом равным единице, вписан правильный пятиугольник. Найдите площадь пятиугольника. Решение:

Площадь многоугольника: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Нужно найти апофему Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови периметр Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Центральный угол Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравен Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— равнобедренный треугольник, а значит его высота Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковявляется и медианой, и биссектрисой.

Тогда Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Чтобы найти стороны треугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, воспользуемся тригонометрическими соотношениями . Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— апофема пятиугольника,Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Сторона пятиугольника: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Историческое сведение. В 3-ем веке до н.э. Архимед — древнегреческий ученый, для того, чтобы определить численное значение Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, воспользовался периметрами правильных; многоугольников описанных и вписанных в окружность. Пользуясь данным способом исследуйте значение Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

1. Принимая за единицу диаметр окружности, найдите периметр вписанного шестиугольника.

2. Покажите, что длина окружности с единичным диаметром равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

3. Нарисуйте радиус окружности. Найдите периметр описанного шестиугольника.

4. Напишите неравенство: Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Увеличив число сторон многоугольника в 2 раза и продолжая вычисления для 12-ти, а затем для 96-ти угольного многоугольника Архимед, определил, что значения Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковбольше Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, но меньше Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Паркетирование

Паркетированием называется покрытие площади фигурами до заполнения всей пустоты.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если сумма углов при общей вершине многоугольника равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, то паркетированием можно покрыть всю пустую часть площади. Паркетирование возможно при помощи правильных треугольников, ромбов (квадратов) и правильных шестиугольников. Однако, при помощи правильных пятиугольников это сделать невозможно, потому что, градусная мера одного угла равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, а сумма углов при общей вершине трех пятиугольников Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, а четырех пятиугольников Теоремы о площади треугольников и четырехугольников.

Справочный материал по многоугольникам

Многоугольник и его элементы.

Сумма углов выпуклого многоугольника. многоугольник, вписанный в окружность, и многоугольник, описанный около окружности.

Рассмотрим фигуру Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковизображенную на рисунке 213. Она состоит из отрезков Теоремы о площади треугольников и четырехугольников Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковПри этом отрезки размещены так, что соседние отрезки ( Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников) не лежат на одной прямой, а несоседние отрезки не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником. Точки Теоремы о площади треугольников и четырехугольников Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковназывают вершинами многоугольника, а отрезки Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковсторонами многоугольника.

Очевидно, что количество вершин многоугольника равно количеству его сторон.

Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром.

Наименьшее количество вершин (сторон) у многоугольника — три. В этом случае имеем треугольник. Еще одним отдельным видом многоугольника является четырехугольник.

Многоугольник, у которого Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковвершин, называют Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольником. На рисунке 213 изображен шестиугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Две стороны многоугольника называют соседними, если они имеют общую вершину. Стороны многоугольника, не имеющие общей вершины, называют несоседними. Например, стороны Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— соседние, a Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— несоседние (рис. 213).

Две вершины многоугольника называют соседними, если они принадлежат одной стороне, а вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называют несоседними.

Например, вершины Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— соседние, Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— несоседние (рис. 213).

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. На рисунке 214 изображены диагонали многоугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковвыходящие из вершины Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Пример №4

Сколько диагоналей имеет Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольник?

Решение:

Из каждой вершины Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника выходит Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковдиагонали. Всего вершин Теоремы о площади треугольников и четырехугольникова каждая диагональ повторяется дважды, например Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковПоэтому всего диагоналей у Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника будет Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Ответ. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Углы, стороны которых содержат соседние стороны многоугольника, называют углами многоугольника. Пятиугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковимеет углы Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если каждый из углов многоугольника меньше развернутого, то такой многоугольник называют выпуклым. Если хотя бы один угол многоугольника больше развернутого, то такой многоугольник называют невыпуклым.

Многоугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— выпуклый (рис. 215), а многоугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— невыпуклый (рис. 216), так как угол при вершине Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковбольше чем 180°.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теорема (о сумме углов выпуклого Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника). Сумма углов выпуклого Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство:

Выберем во внутренней области многоугольника произвольную точку Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови соединим ее со всеми вершинами Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника (рис. 217). Получим Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковтреугольников, сумма всех углов которых равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковСумма углов с вершиной в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравна Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковСумма углов данного Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника равна сумме углов всех треугольников, кроме углов с вершиной в точке Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковто есть: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Углы выпуклого многоугольника называют еще его внутренними углами. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, называют внешним углом многоугольника. На рисунке 218 угол Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— внешний угол многоугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— при вершине Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Очевидно, что каждый многоугольник имеет по два внешних угла при каждой вершине.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Пример №5

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Решение:

Сумма внутреннего и внешнего углов при каждой вершине многоугольника равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковугольника равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТак как сумма внутренних углов равна Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковто сумма внешних углов равна:

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Окружность при этом называют описанной около многоугольника (рис. 219).

Около многоугольника не всегда можно описать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (как и в случае треугольника).

Многоугольник называют описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Окружность при этом называют вписанной в многоугольник (рис. 220).

Не в каждый многоугольник можно вписать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника (как и в случае треугольника).

Многоугольник и его свойства

Вы уже знаете, что такое треугольник и четырёхугольник. Более общим является понятие многоугольника. На рисунке 327 вы видите многоугольник ABCDEF. Он состоит из отрезков АВ, ВС, CD, DE, EFy FA, размещённых таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные -не имеют общих точек. Отрезки, из которых состоит многоугольник, называются его сторонами, углы, образованные смежными сторонами, — углами, а вершины этих углов — вершинами многоугольника.

В зависимости от количества вершин (углов либо сторон) многоугольник называется треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольник обозначают названиями его вершин, например шестиугольник ABCDEF (рис. 327), пятиугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольников(рис. 328). ? | На рисунке 329 вы видите многоугольники Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. В чём их различие?

Ни одна из прямых, проходящих через стороны многоугольника Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковне пересекает другие его стороны. Он лежит по одну сторону от любой из этих прямых. Такой многоугольник называется выпуклым. Многоугольник Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковне является выпуклым.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь выпуклые многоугольники.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Его обозначают буквой Р.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Посмотрите на рисунок 330. В шестиугольнике ABCDEF отрезки AC, AD, АЕ соединяют вершину А с несоседними вершинами. Это — диагонали шестиугольника.

Диагональю n-угольника называется отрезок, который соединяет две несоседние его вершины.

Теорема (о сумме углов n-угольника).

Сумма углов n-угольника равна 180° • (n — 2).

Дано: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— n-угольник (рис. 331), Теоремы о площади треугольников и четырехугольников— диагонали. Доказать: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Доказательство. В заданном n-угольнике диагонали Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольниковвыходят из одной вершины Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковПоэтому они разбивают n-угольник на n — 2 треугольников. Сумма всех углов образованных треугольников равна сумме углов данного n-угольника. Поскольку в каждом треугольнике сумма углов равна 180°, то сумма углов данного n-угольника — 180° • (n — 2).

Угол, смежный с углом многоугольника (рис. 332), называется внешним углом многоугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольники могут быть вписанными в окружность (рис. 333) или описанными около окружности (рис. 334). Попытайтесь дать определения и сравните их с указанными в учебнике.

Многоугольник все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным, в эту окружность, а окружность — описанной около этого многоугольника.

Многоугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот многоугольник.

Стороны вписанного многоугольника и его диагонали — это хорды окружности. Каждый его угол является вписанным углом (рис. 335).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Стороны описанного многоугольника являются касательными к окружности, а его диагонали — секущими (рис. 336).

1. Геометрическая фигура называется простой, если её можно разбить на конечное количество треугольников. Многоугольник — это простая фигура (см. рис. 330 и 331), а окружность не является простой фигурой (рис. 337). Даже вписав в окружность многоугольник с очень большим количеством сторон, мы только приблизим его контур к окружности. Поэтому в геометрии длину окружности и площадь круга находят другими методами, чем периметр и площадь многоугольника.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

2. У вас может возникнуть вопрос: Всегда ли из равенства сторон многоугольника следует равенство его углов и наоборот? Нет, это свойство лишь треугольника. Вы знаете пример четырёхугольника, в котором все стороны равны, а углы — не равны. Это ромб. В прямоугольнике все углы равны, а вот стороны — нет. Среди многоугольников с большим количеством вершин также можно выделить равносторонние многоугольники, в которых не все углы равны (рис. 338), и равноугольные многоугольники, в которых не все стороны равны

Понятие площади

Многоугольник разбивает плоскость на две области — внутреннюю (рис. 345) и внешнюю (рис. 346). Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Многоугольник вместе с его внутренней областью называется плоским многоугольником.

Каждый плоский многоугольник (например, многоугольник F на рис. 347) занимает часть плоскости. Если эту часть плоскости выразить некоторым числом, то получим площадь многоугольника. Далее будем говорить «площадь многоугольника», имея в виду, что многоугольник -плоский. Это относится и к другим плоским фигурам.

Площадь обозначают буквой S. Иногда указывают название фигуры, например Теоремы о площади треугольников и четырехугольников, а для нескольких фигур — индексы, например Теоремы о площади треугольников и четырехугольникови т. д.

На рисунке 348 фигуры Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковравны, поскольку совмещаются наложением. Понятно, что они имеют равные площади. Можем записать: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников. Для измерения площади фигуры выбирают единицу измерения. Для этого используют квадрат, со стороной равной единице измерения длины. Площадь квадрата со стороной 1 см — это единица измерения площади в квадратных сантиметрах, со стороной 1 м — в квадратных метрах и т. д. Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Единицы измерения площади кратко записываем так: 1 см2, а говорим: «один квадратный сантиметр». Говорить «сантиметр в квадрате» -неправильно!

Некоторые единицы измерения площади имеют специальные названия: ар (квадрат со стороной 10м), гектар (квадрат со стороной 100 м) и т. д.

На рисунке 349 вы видите квадрат ABCD со стороной 2 см. Он состоит из четырёх квадратов площадью 1 см2, поэтому его площадь равна 4 см2.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольниковТеоремы о площади треугольников и четырехугольников

Можем записать: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Ясно, что площадь любой фигуры выражается положительным числом. Изменится ли площадь квадрата ABCD, если за единицу измерения принять 1 мм2? Нет, площадь квадрата не изменится, но будет выражена иначе: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

На рисунке 350 длина стороны квадрата KLMN равна 2,5 см. Он вмещает четыре квадрата площадью 1 см2 и ещё 9 маленьких квадратов площадью 0,25 см2. Поэтому Теоремы о площади треугольников и четырехугольников= 4 + 9 • 0,25 = 6,25 (см2).

Ясно, что площадь любой фигуры равна сумме площадей частей, из которых она состоит.

Из предыдущих классов вы знаете, что площадь квадрата со стороной а можно вычислить иначе — по формуле площади квадрата:

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Для квадратов ABCD и KLMN получим: Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Поскольку 4 см2

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Формулы площадей фигур

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Формулы площади треугольника

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Формулы площади квадрата

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула площади квадрата по длине стороны

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Формула площади прямоугольника

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β , γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Формулы площади ромба

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Видео:Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула Герона для трапеции

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Видео:Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольника

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b ,
γ — угол между равными сторонами a .

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p — a p — b p — c p — d ,

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Видео:👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shorts

Формулы площади круга

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Видео:8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12Скачать

8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12

Площадь сегмента круга

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Видео:Геометрия. 8 класс. Площади четырёхугольников и треугольников /19.01.2021/Скачать

Геометрия. 8 класс. Площади четырёхугольников и треугольников /19.01.2021/

Формула площади эллипса

Теоремы о площади треугольников и четырехугольников

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

📸 Видео

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Геометрия. 8 класс. Площади четырехугольников и треугольников /02.02.2021/Скачать

Геометрия. 8 класс. Площади четырехугольников и треугольников /02.02.2021/
Поделиться или сохранить к себе: