Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Углы, связанные с окружностью
Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиВписанные и центральные углы
Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголТеорема об угле опирающемся на дугу окружности
Вписанный уголТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаТеорема об угле опирающемся на дугу окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема об угле опирающемся на дугу окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема об угле опирающемся на дугу окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема об угле опирающемся на дугу окружности
Угол, образованный касательной и секущейТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема об угле опирающемся на дугу окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема об угле опирающемся на дугу окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Формула: Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Формула: Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:73. Теорема о вписанном углеСкачать

73. Теорема о вписанном угле

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

В этом случае справедливы равенства

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

В этом случае справедливы равенства

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметрСкачать

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

∠ABC =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

∠B =1∠AOC.
2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAD и Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAD и 2 =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиDC.
22

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAD +1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиDC
22
∠ABC =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Проведём диаметр BD.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =1(Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиADТеорема об угле опирающемся на дугу окружностиCD),
2
∠ABC =1Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиAC.
2

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)

Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов

Теоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач.

1) Терема о вписанном угле в окружность.

Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть Теорема об угле опирающемся на дугу окружности.

2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность.

2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Теорема:
если вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны (если они опираются на дополнителные дуги, их сумма равна Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр.
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Теорема:
вписанный угол в окружность опирается на диаметр тогда и только тогда, когда он прямой.

AC-диаметр Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол.
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Теорема 1: если из одной точки, не лежащей на окружности, проведены к ней две касательные, то их отрезки равны, то есть PB=PC.

Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса.

4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих.
Теорема об угле опирающемся на дугу окружностиТеорема 1: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности= Теорема об угле опирающемся на дугу окружности.

Теорема 2:
угол между хордами равен полусумме дуг, которые этими хордами образуются на окружности, то есть
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих.
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Теорема 1: произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой, то есть

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности= Теорема об угле опирающемся на дугу окружности.

Теорема 2:
угол между секущими равен полуразности соответствующих им дуг, то есть
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика.

6) Свойства квадрата отрезка касательной
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Теорема 1:
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то есть

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

Теорема 2:
угол между касательной и секущей равен полуразности соответствующих им дуг, то есть

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности

7) Угол между касательной и секущей
Теорема об угле опирающемся на дугу окружности
Теорема:угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки окружности, равен поливине дуги, которую отсекает сукущая (половине центрального угла, соответствующего данной дуге).

Теорема об угле опирающемся на дугу окружности.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.

Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо.

Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом.

Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы!

Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике.

Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое!

💡 Видео

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

ЕГЭ МАТЕМАТИКА (профиль) | Окружность и углы в окружностиСкачать

ЕГЭ МАТЕМАТИКА (профиль) | Окружность и углы в окружности

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружност

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

70 Теорема о вписанном углеСкачать

70 Теорема о вписанном угле
Поделиться или сохранить к себе: