Вписанные и центральные углы |
Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Вписанный угол окружности
- Теорема о вписанном угле
- Следствия из теоремы
- Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементов
- 💡 Видео
Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вписанный угол | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |
Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
Угол, образованный пересекающимися хордами | |||
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга | |||
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания | |||
Угол, образованный касательной и секущей | |||
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формулы: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:73. Теорема о вписанном углеСкачать Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5). Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6). В этом случае справедливы равенства и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7). В этом случае справедливы равенства что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8. Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9. Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10. Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11. Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12. Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать Вписанный угол окружностиВписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности. Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами. Видео:Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметрСкачать Теорема о вписанном углеТеорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:
При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности. Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности. Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника. Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то: а так как углы A и B равны, то
Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:
Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла. Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2. Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:
Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:
Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла. Проведём диаметр BD. Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать Следствия из теоремы1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги. 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°. Видео:Геометрия 8 класс (Урок№27 - Теорема о вписанном угле.)Скачать Справочник репетитора по математике. Свойства окружности и ее элементовТеоретические справочные материалы по геометрии для выполнения заданий от репетитора по математике. В помощь ученикам при решении задач. 1) Терема о вписанном угле в окружность. Теорема: вписанный в окружность угол равен половие градусной меры дуги, на которую он опирается (или половине центрального угла, соответствующего данной дуге), то есть . 2) Следствия из теоремы о вписанном угле в окружность. 2.1) Свойство углов, опирающихся на одну дугу.
2.2) Свойство угла, опирающегося на диаметр. AC-диаметр 3) Cвойство отрезков касательных. Окружность, вписанная в угол. Теорема 2: Если окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть PO-биссектриса. 4) Свойство отрезков хорд при внутреннем пересечении секущих. = . 5) Свойство отрезков хорд при внешнем пересечении секущих. = . Комментарий репетитора по математике: Обратитте внимание на общую закономерность 4-го и 5-го свойства: хорды в произведениях не участвуют, а сами равенства (с частями и продолжениями хорд) при сохранении обозначений являются точной копией друг друга. Также можно подметить общую структуру равенств с дугами. Репетитору по математике стоит обратить на этих особенностях внимание ученика. 6) Свойства квадрата отрезка касательной 7) Угол между касательной и секущей . Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Уважаемый коллега, ваш материал на сайте является для меня хорошим методическим подспорьем. Спасибо. Александр Николаевич, спасибо за методики, я восхищена Вашим трудолюбием и профессионализмом. Уважаемый Александр Николаевич! Полезность вашего материала безгранична! Огромнейшее спасибо за справочные материалы, их оформление. Я еще не со всеми ознакомилась. Спасибо за помощь репетиторам по математике, школьным преподавателям и ученикам! Вы Учитель с большой буквы! Спасибо за хороший материал, готовимся к олимпиаде по математике. Александр Николаевич, большое спасибо за материал! У меня завтра экзамен, и ваш труд поможет сдать мне его на хорошую оценку. Так, как я поняла все по ваши справочникам, мне не объяснит ни один учитель — репетитор. Спасибо вам большое! 💡 ВидеоВписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать №655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать Вписанные углы в окружностиСкачать 8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать ЕГЭ МАТЕМАТИКА (профиль) | Окружность и углы в окружностиСкачать ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ|Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 1/5 окружностСкачать Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать Вписанные и центральные углыСкачать Углы, связанные с окружностьюСкачать 72. Градусная мера дуги окружностиСкачать 70 Теорема о вписанном углеСкачать |