Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство
КвадратТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

ТрапецияТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС.

Доказать: около Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Точка О равноудалена от вершин Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАDС, Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС, откуда следует Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАDС + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство(Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАDС + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАDС + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоАВС = 360 0 , тогда Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВСDвнешний угол Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоСFD, следовательно, Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВFD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВFD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD и Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоFDE = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство(Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF), следовательно, Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВСDТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD.

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВЕD, тогда Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСDТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство(Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВЕD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВЕD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD = 360 0 , тогда Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСDТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСDТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство180 0 . Но это противоречит условию Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBАD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

По теореме о сумме углов треугольника в Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВСF: Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоС + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоF = 180 0 , откуда Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоС = 180 0 — ( Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоF). (2)

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВ = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF. (3)

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоF и Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВFD смежные, поэтому Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоF + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВFD = 180 0 , откуда Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоF = 180 0 — Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВFD = 180 0 — Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоС = 180 0 — (Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF + 180 0 — Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD) = 180 0 — Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF — 180 0 + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство(Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАDТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоЕF), следовательно, Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоСТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD.

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоА = Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВЕD, тогда Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоА + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоСТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоТеорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство(Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВЕD + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоВАD). Но это противоречит условию Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоА + Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательствоС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность, описанная около четырёхугольникаСкачать

Окружность, описанная около четырёхугольника

Вписанная и описанная окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Теорема об окружности описанной около четырехугольника доказательство

В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

💡 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать

Задача об окружности, описанной около четырёхугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Описанная около четырёхугольника окружностьСкачать

Описанная около четырёхугольника окружность

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Теоремы об окружностях для четырехугольниковСкачать

Теоремы об окружностях для четырехугольников

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике
Поделиться или сохранить к себе: