Свойства
- Сумма углов четырехугольника равна 360°.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. - Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
и этот четырехугольник является квадратом.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
ABCD — квадрат. - Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
если около четырехугольника описана окружность.
∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
Такие четырехугольники называют вписанными.
Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Признаки прямоугольника
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 206.
Средняя оценка: 4.6
Всего получено оценок: 206.
В этой статье мы поговорим о признаках прямоугольника. Выделим основные и рассмотри каждый в отдельности.
Видео:Красивая задача про углы четырехугольникаСкачать
Определения
Основная часть доказательств основывается на том, что в четырехугольнике сумма углов равна 360 градусам.
Всего насчитывается 7 признаков прямоугольника. Для того, чтобы их применять нужно, прежде всего, вспомнить определения:
Прямоугольник это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, у которого все стороны попарно равны и параллельны.
Для того, чтобы определить выпуклый четырехугольник или нет нужно последовательно проводить через каждую из сторон фигуры линию. Если в каждом из 4 случаев (поскольку сторон 4) вся фигура будет оставаться по одну сторону от линии, то четырехугольник выпуклый.
Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать
Признаки
Перед нами параллелограмм. Как доказать, что он является прямоугольником? Воспользоваться одним из признаков:
- Параллелограмм является прямоугольником, если один из углов – прямой.
В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если один из углов – прямой, то противоположный ему угол так же прямой, а два оставшихся равны между собой. Сумма всех углов четырехугольника 360 градусов.
Два угла прямые, значит остается 360-90*2=180. Эта сумма двух равных углов, значит, каждый из оставшихся углов прямой: 180/2=90. Если все углы параллелограмма прямые, то это прямоугольник.
Этот признак работает только для параллелограммов. В случае с четырехугольниками прямой угол может быть и у прямоугольной трапеции.
Для того, чтобы вокруг четырехугольника описать окружность, необходимо, чтобы противоположные углы в сумме давали 180 градусов. Противоположные углы в параллелограмме равны, значит 180/2=90 градусов составляет каждый угол. Значит это прямоугольник.
Это существенные признаки прямоугольников. Существуют так же дополнительные, которые сводятся к уже перечисленным. И главное, помните, что в математике важны определения. Признаки прямоугольного прямоугольника – неправильная формулировка. Прямоугольник всегда был, есть и будет прямоугольным.
Видео:Найдите углы четырёхугольникаСкачать
Что мы узнали?
Мы разобрались как можно доказать, что параллелограмм или четырехугольник является параллелограммом, вспомнили некоторые определения и ознакомились с ведущим методом определения прямоугольника – по углам.
Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать
Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников
В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.
Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:
Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.
Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.
1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне:
3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.
4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:
В равнобедренной трапеции
- углы при основании равны,
- проекции боковых сторон на основание равны: .
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: В параллелограмме:
- противоположные стороны и противоположные углы равны
- диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:
Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
или произведению сторон на синус угла между ними:
:
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:
- противоположные углы равны
- диагонали точкой пересечения делятся пополам
- диагонали взаимно перпендикулярны
- диагонали ромба являются биссектрисами углов
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны
Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:
- все углы равны 90 градусов
- диагонали точкой пересечения делятся пополам
- диагонали взаимно перпендикулярны
- диагонали являются биссектрисами углов
- диагонали равны
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
🔍 Видео
8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)Скачать
Геометрия. 7 класс. Задача от подписчика.Скачать
9 класс. Геометрия. ОГЭ. Окружность. Четырехугольники.Скачать
8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать
№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 112 и 125Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать
Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать
Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать
Четырёхугольники №17 из ОГЭ. Биссектриса и прямоугольные треугольники в четырёхугольниках.Скачать
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Геометрия В четырехугольнике ABCD известно, что угол A = углу C = 90. Докажите, что биссектрисы двухСкачать
Угол между векторами. 9 класс.Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачиСкачать