Теорема о двух системах векторов (5 видео)

Линейная зависимость. Лемма о двух системах векторов

Читайте также:

I Понятие об информационных системах
I. Линейная алгебра
III. Векторное произведение векторов, заданных координатами
III. Линейная алгебра
MathCad: понятие массива, создание векторов и матриц.
SCАDA-системы: основные блоки. Архивирование в SCADA-системах. Архитектура системы архивирования.
V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
Аварии на коммунальных системах жизнеобеспечения
Арифметические действия в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления
Б) вычитание векторов.
Билет 6.Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве
Билет 7 Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой. Понятие линейного пространства и подпространства, критерии подпространства

Пусть дана система векторов

а₁, а₂,…,а_s (1)

и набор чисел из поля Р

Определение 1. Вектор

называется линейной комбинацией векторов системы (1), а числа (2) – коэффициентами этой линейной комбинации. Если все коэффициенты линейной комбинации — нули, то линейная комбинация называется тривиальной.

Если какой-либо вектор равен линейной комбинации векторов системы (1),то говорят, что он линейно выражается через эту систему.

Очевидно, тривиальная комбинация всегда равна нулю. Поставим вопрос: можно ли подобрать коэффициенты линейной комбинации так, чтобы нетривиальная комбинация данной системы векторов была равна нулю? Оказывается, это зависит от данной системы векторов, а не от нашего умения подбирать коэффициенты линейной комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этих векторов равна нулю, и называется линейно зависимой в противном случае.

Иными словами, линейная независимость системы (1) означает, что

Отметим простейшие следствия из определения 2.

1 0 . Всякая система векторов, содержащая 0,линейно зависима.

В самом деле, если, например, в системе (1) вектор а₁= 0, то линейная комбинация (3) при a₁= 1, a₂= a₃=…= a_s= 0 будет не тривиальной, но равной 0.

2 0 .Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Покажем это. Пусть векторы а₁,а₂,…,а_k, где k 0 . (Критерий линейной зависимости). Система из более чем одного векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов (1), где s>1, линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0,то есть выполняется равенство

a₁a₁+ a₂a₂ +…+ a_sa_s= 0, (5)

и среди коэффициентов хотя бы один, например a_1, не равен нулю. Разделив обе части этого равенства на a_1, перепишем его в виде a₁ = — a₂— …- a_s, что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть, например, вектор а₁ линейно выражается через остальные, то есть а₁ = b₂а₂+…+b_Sa_s. Переписав это равенство в виде

(-1)а₁+b₂а₂+…+b_sa_s = 0, мы видим, что линейная комбинация системы векторов не тривиальна (-1¹ 0) и равна 0, что означает линейную зависимость векторов.

4 0 . Если система векторов а₁,…,a_s, а линейно зависима, а ее подсистема a₁,…,a_s линейно независима, то вектор авыражается единственным образом через эту подсистему.

Докажем это утверждение. В силу линейной зависимости системы найдутся такие числа b₁,…,b_s, b, не все равные нулю, что будет справедливо равенство

b₁a₁+…+ b_sa_s + ba = 0.(6)

Оказывается, что в этом случае b¹0, иначе мы имели бы нетривиальную нулевую комбинацию векторов подсистемы, что противоречит ее линейной независимости. Разделив обе части равенства (6) на число b, мы выразим вектор а через векторы подсистемы.

Докажем единственность. Пусть будет два разложения вектора а: a =x₁a₁+…+x_sa_s и a= y₁a₁+…+y_sa_s_. Вычитая из первого равенства второе, получим (x₁-y₁)a₁+…+(x_s-y_s₎a_s = 0, откуда следует в силу линейной независимости подсистемы, что x₁-y₁= 0, …, x_s-y_s= 0.

Лемма о двух системах векторов. Если система векторов b₁,…,b_m линейно независима, и каждый вектор этой системы линейно выражается через систему a₁,…,a_k, то m £ k.

Доказательство. По условию леммы имеем

А = (8)

Предположим противное, что m>k. Так как известно, что ранг r матрицы А не больше числа ее строк и не больше числа ее столбцов, то m>r. Это значит, что между строками матрицы А существует линейная зависимость, которую мы запишем в виде

где среди чисел l₁,…,l_m есть отличные от нуля.

Умножим теперь равенства (7) соответственно на числа l₁,…,l_m и сложим их почленно. Учитывая линейную зависимость (9), найдем

= 0a₁+…+0a_k = 0. (10)

Равенство (10) говорит о том, что система векторов b₁,…,b_m линейно зависима, что противоречит условию.

Пример. В пространстве квадратных матриц порядка 2 проверить линейную зависимость системы матриц

Для данных матриц очевидна линейная комбинация

C = 2A + B или 2A + B – C =0, т. о. система линейна зависима.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

86. Ранг системы векторов и ранг матрицы. Основная теорема о двух системах векторов

Теорема 1. Пусть даны две системы векторов A1, A2, . AK, и B1, B2, . BM, которые обладают свойствами:

1) первая система линейно независима;

2) каждый вектор первой системы линейная комбинация векторов второй системы.

Тогда k £ m, т. е. число векторов первой системы не больше числа векторов второй системы.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу векторов второй системы, т. е. по M.

Пусть M=1. Докажем, что K=1. Допустим противное, что K>1. Тогда по второму условию каждый вектор системы A1, A2, . AK линейно выражается через вектор B1, т. е. AI = aIBI ; I=1,2. K, где все числа aI ≠ 0 ; I=1,2. K. Действительно, в противно случае какой-нибудь вектор AI = 0 и по свойству система A1, A2, . AK линейно зависим, что противоречит условию. Тогда из первых двух равенств первой системы получаем, что

Отсюда вектора A1, A2 образуют линейно зависимую подсистему системы векторов A1, A2, . AK, что противоречит свойству. Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы при M=1.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для любой системы второго вида, содержащей M — 1 вектор, и докажем его для системы содержащей M векторов. По второму условию имеем систему K равенств :

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Лекция № 3 (19.02.10)

Лекция № 3 (19.02.10)

5.2.4. Лемма о двух системах векторов

Лемма. Пусть даны две системы векторов одной и той же размерности:

Если выполняются следующие условия:

1) каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (2);

то система (1) линейно зависима.

Доказательство. Нам достаточно убедиться в существовании таких коэффициентов xi, не все из которых равны нулю, что выполняется соотношение:

Из условия 1) следует:

Подставим (*) в соотношение (5):

Теперь для достижения нашей цели достаточно обеспечить выполнение следующих соотношений:

Систему равенств (6) можно рассматривать как однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных x1, x2, …, xk; при этом k > l (неизвестных больше, чем уравнений); значит, система уравнений (6) имеет хотя бы одно ненулевое решение, что и означает, что система (1) линейно зависима, QED.

5.2.5. Понятие ранга системы векторов

Теорема. Любые два базиса одной и той же конечной системы векторов содержат одно и то же количество векторов.

Доказательство. Пусть дана система векторов a1, a2, …, ak. Предположим, что у нас есть два базиса этой системы, и допустим (от противного), что они содержат разное количество векторов. Будем считать первым базисом тот, который содержит большее количество векторов:

Мы имеем l > m; тогда, применяя лемму о двух системах векторов к системам (1) и (2) и учитывая, что каждое bi линейно выражается через векторы системы (2), получим, что система (1) линейна зависима. Но это противоречит тому, что система (1) есть базис.

Определение. Рангом данной системы векторов, содержащей хотя бы один ненулевой вектор, называется число векторов в любом базисе системы. Рангом системы векторов, состоящей только из нулевых векторов, считается число 0.

Рассмотрим теперь произвольную прямоугольную матрицу

размера (s, n).

Расщепим данную матрицу на вектор-столбцы:

a1 =, a2 =, …, an =.

Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов.

§ 5.3. Линейное координатное пространство

5.3.1. Основные определения

Определение. Линейным координатным пространством Rn (Cn) (арифметическим пространством) размерности n называется множество всех вектор-столбцов размерности n, рассматриваемое относительно операций покомпонентного сложения и покомпонентного умножения на скаляры.

5.3.2. Линейное подпространство

Определение. Подмножество L линейного координатного пространства Rn называется (линейным) подпространством, если выполняются следующие три условия:

Обозначение линейного подпространства: L ≤ Rn.

Примеры. 1. Очевидно, что подмножество, состоящее только из нулевого вектора (L = <0>), а также всё пространство (L = Rn) являются примерами подпространств. Это самое маленькое и самое большое подпространства.

2. А вот пример промежуточного подпространства, отличающегося от двух приведённых: в пространстве R3 рассмотрим множество векторов вида

Таким образом, наше подмножество L состоит из трёхмерных векторов определённой структуры: первые две компоненты α и β − произвольные (действительные) числа, а третья компонента −α противоположна первой. Посмотрим, какой вид будет иметь сумма двух векторов такого вида: