Задачи на центр масс треугольника (8 видео)

Задачи на центр масс треугольника

Любите ли вы геометрию? Многие на этот вопрос отвечают «нет», потому что в школе она даётся труднее всего. Причём особенную нелюбовь вызывают у учеников задачи о пересекающихся отрезках в треугольнике, к которым трудно даже подступиться. В этой статье мы расскажем о замечательном методе решения подобных задач — методе масс.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №10(38). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Наверняка в детстве вы качались на качелях-весах. И наверняка один из двоих чаще всего оказывался тяжелее и его сторона постоянно перевешивала. А что можно сделать в этой ситуации, чтобы уравновесить качели?

Вспоминаем правило рычага: чтобы система была в равновесии, моменты сил, действующих на качели, должны быть одинаковыми.

Так как силы в нашем случае — это силы тяжести, верно следующее равенство:

Сокращаем константу g и получаем, что отношение масс обратно пропорционально отношению расстояний от края качелей до опоры.

Обратите внимание: вес самих качелей мы не учитываем. То есть система состоит из двух точек — концов отрезка с «гирьками», а также третьей точки, которая делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном отношению масс «гирек». Последняя точка имеет своё название — она является центром масс системы из двух точек-«гирек».

Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

Теперь рассмотрим систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(m_A) и B(m_B) мы заменим их центром масс Р(m_A+m_B), то центр масс исходной системы не изменится.

Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

Дан треугольник АВС. М — середина АВ, точка К лежит на отрезке АС и делит его в отношении 1:2 от вершины А. В каком отношении отрезок СМ делит отрезок ВК?

Решение Суть нашего метода в следующем. Расставим в точки А, В и С массы 2, 2 и 1 соответственно. Как вы видите, центр масс точек А(2) и В(2) — это точка М(4). Значит, центр масс всей системы из трёх точек находится на отрезке СМ и делит его в отношении 1:4 от С.

Теперь вернёмся к началу и найдём центр масс точек А и С. Это будет точка К(3). Значит, центр масс исходной системы лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 3:2 от В.

Но речь идёт об одной и той же системе точек А, В и С, а значит, у них один и тот же центр масс, который лежит и на СМ, и на ВК. Таким образом, центр масс не что иное, как точка О. Отсюда следует, что искомое отношение ВО к ОК равно 3:2.

Ответ. 3:2.

Постойте-ка! А как это мы догадались расставить массы именно так: 2, 2 и 1? На самом деле никакой магии тут нет. Наша цель — расставить массы в вершинах треугольника так, чтобы их центром оказалась точка О. Но почему именно 2, 2 и 1? Всё дело в том, что О будет центром масс, если мы покажем, что центр масс одновременно лежит и на отрезке СМ, и на отрезке ВК. Следовательно, в первом случае массы из точек А и В должны сместиться в точку М. Вспоминаем правило качелей: так как АМ = ВМ, то массы в точки А и В надо ставить одинаковые. Запомним это.

Во втором случае мы должны поставить массы в А и С так, чтобы их центром была точка К. Но АК:СК = 1:2, значит, в точке А масса должна быть вдвое больше, чем в С. Следовательно, ставим в С массу 1, тогда в А будет 2 (вдвое больше) и в В — тоже 2 (как в А).

Методом масс можно не только решать задачи, но и доказывать теоремы.

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Решение Рассмотрим медианы ВК и СМ. В данном случае и К, и М — середины, поэтому поставим во все три вершины А, В и С массу 1. Далее рассмотрим точки А и В. Их центр масс — точка М(2). Значит, центр масс системы точек А, В и С лежит на отрезке СМ и делит его в отношении 2:1 от вершины С.

Теперь рассмотрим точки А и С, их центр масс — точка К(2). Значит, центр масс всё той же системы точек А, В и С лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 2:1 от вершины В. Но тогда искомый центр масс — это точка О на пересечении отрезков ВК и СМ, причём каждый из отрезков эта точка делит в отношении 2:1 от вершин.

Осталось заметить, что если мы рассмотрим медианы ВК и АР, то их точка пересечения также будет центром масс и разделит ВК и АР в отношении 2:1 от вершин. Но точка, которая делит ВК в отношении 2:1 от В, единственная, значит, в обоих случаях речь идёт об одной и той же точке О. Итак, все три медианы проходят через точку О и делятся ею в отношении 2:1 от вершин, что и требовалось доказать.

Видео:Метод центра масс. Олимпиадная математика. Be Student SchoolСкачать

Метод масс в геометрии

Разделы: Математика

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрим один интересный метод решения ряда геометрических задач. Называется этот метод «Метод масс». (слайд №1)

Родоначальником метода масс был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в 3 веке до нашей эры он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс (барицентра). В частности, этим способом была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры.

Доклад учащегося об Архимеде. Приложение 1.

Учитель: Из курса физики известно, что материальной точкой можно назвать тело, размерами которого можно пренебречь, то есть, фактически, материальная точка — точка, снабженная массой. Выражение «mА» означает: точка А массой m.

Множество материальных точек — система материальных точек (СМТ).

Учитель: Давайте представим, что мы подвесили карандаш на ниточке. (Слайд №8).

В зависимости от того, в каком месте карандаша будет располагаться наша ниточка, карандаш будет висеть либо параллельно полу — либо нет. Если мы смогли найти такое положение нитки, что карандаш висит параллельно полу — это значит, что ниточка обхватывает наш карандаш в центре масс.

Давайте вспомним детские качели. (Слайд №9). Подскажите псу куда нужно ему пересесть, что74бы качели пришли в равновесие?

Правильно. (Слайд №10)

А сейчас я хочу познакомить вас с постулатами Архимеда.

Любая конечная система материальных точек имеет единственный центр масс.

2. Система, состоящая из двух материальных точек имеет центр масс, принадлежащий отрезку, соединяющему эти точки причем его положение определяется правилом рычага: m1d1=m2d2

3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

Задача Архимеда (о медианах треугольника): медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Треугольник АВС- произвольный

Пусть точка пересечения медиан — центр масс треугольника.

Помещаем в вершину А массу, равную единице. Поскольку точка В₁ делит сторону АС пополам, то и в точку С должна быть помещена масса, равная единице. Аналогично и в точку В _, т. к. А₁ — тоже середина.

1. СМТ 1А, 1В, 1С с центром масс в т. О.

2. 1А+1С=2В₁. Рассмотрим СМT 1В, 2В₁ с центром масс в т.О. Тогда по правилу рычага имеем ВО:ОВ₁ = 2:1.

3. 1В+1С=2А₁. Рассмотрим СМT 1А, 2А₁ с центром масс в т.О. Тогда по правилу рычага имеем АО:ОА₁ = 2:1.

4. Аналогично СО:ОС₁ = 2:1. Что и требовалось доказать.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, гдеО — точка пересечения чевиан.

Решение. (Слайд №16)

Помещаем в вершину С массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная пяти_, т. к. ВN: NC=1:5

1)СМТ 2А,5В,1С с центром масс в точке О.

2) 2A+1C=3M; 5В,3М — сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А — сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Ответ: ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:7, а АМ: МС=2:5. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

Помещаем в вершину С массу, равную двум. Тогда по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная пяти,так как АМ: МС=2:5. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная 14_, т. к. ВN: NC=1:7, а в тоске С масса 2.

1)Введем систему материальных точек 5А,14В,2С с центром масс в точке О.

2) 5A+2C=7M; 14В,7М — СМТ с ц.м. в т.О . По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2

3) 14В+2C=16N; 16N, 5А — СМТ с ЦМ. в т.О. По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1

4) S_CMON=

Итоги урока: Сегодня на уроке мы познакомились с инересным методом решения геометрических задач — методом масс. А так же узнали интересные факты их жизни создателя этого метода — Архимеда.

Домашнее задание: (слайд 23)

1. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=2:3, а АМ: МС=2:1. Найти ВО:ОМ и АО:ON, гдеО — точка пересечения чевиан.

2. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=4:3, а АМ: МС=2:3. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC=1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок АВ в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника АЕF?

Использованная литература:

Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс

Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника

Никулин А.В., Кукуш А.Г., Татаренко Ю.С. Геометрия на плоскости

Видео:Центр тяжести треугольникаСкачать

Заседание НОУ «Интеграл» по теме «Метод масс в геометрии»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Заседание

научного общества учащихся «Интеграл»

Тема занятия «Метод масс в геометрии»

28 апреля 2015 года

Учитель математики: Кондратьева Татьяна Юрьевна

Аудитория: 8,9,10 класс

Актуальность темы: В школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается. Решения задач на отношение длин при решении обычными методами получаются достаточно объёмными. Данный метод необходим для рационального решения задач.

Проблема: поиск рационального способа решения задач

Объект исследования – геометрические задачи на нахождение отношения длин отрезков

Цели: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить уровень культуры решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской работы.

1. Дать понятие геометрии масс

2. Научиться решать задачи с применением этого метода

3. Подготовка к ОГЭ (№26), ЕГЭ(С4) и олимпиадам

Гипотеза: Многие задачи на отношение длин отрезков рациональнее решать с помощью геометрии масс

«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

Послание к Эратосфену «О механических теоремах»

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Метод масс в геометрии».

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

Соображения Архимеда были позднее использованы и развиты многими геометрами (Папп, Чева, Гюльден, Люилье и др.).

Нередко приходится слышать, что рассуждения с использованием свойства центров масс не могут дать математически строгих решений геометрических задач (хотя, может быть, и полезны для угадывания правдоподобных ответов к этим задачам). Однако такое мнение глубоко ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эвристическим средством; облеченные в строгую математическую форму, они позволяют получать математически безупречные решения задач геометрии и алгебры.

Первый «сюрприз» Архимеда

Во время осады Сиракуз Архимед построил множество удивительных приспособлений. Первое — это «Лапа Архимеда», уникальная подъемная машина и прообраз современного крана. Внешне она была похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Если римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор» захватывал его нос и переворачивал. (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих.

МАТЕРИАЛЬНАЯ точка — точка, имеющая массу. В механике понятием материальная точка пользуются в случаях, когда размеры и форма тела при изучении его движения не играют роли, а важна только масса.

Подскажите псу куда нужно ему пересесть, чтобы качели пришли в равновесие?

Задача найти в этом случае ту точку, которая уравновесит данные качели.

Принцип центра масс является ничем иным, как законом рычага, с помощью которого Архимед собирался перевернуть Землю.

Центр масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что AO* m ₁ = BO* m ₂ .
Или соответственно

Таким образом, точка O разбивает наш отрезок в отношении обратно пропорциональном тем массам, которые находятся в точках A и B.

Задача 1 . Дана масса груза, расположенного в точке A — m ₁ =1, а масса груза, расположенного в точке B — m ₂ =2. Найти положение центра масс.

Из теоремы следует, что центр данной системы – это такая точка О, которая разделит отрезок АВ в отношении 2 к 1, считая от вершины А.

Ответ:

ЗАДАЧА 2 для самостоятельного решения:

Пусть масса, расположенная в точке A равна 400г, а масса в точке B равна 1400г (см. рис.). Найти центр масс данного отрезка.

Решение : из определения центра масс получаем, что точка O делит отрезок AB в отношении = . Значит центр масс O делит отрезок так, что 7*А O = 2* BO .

Центр масс системы материальных точек

К примеру, дан треугольник ABC. В точках A, B и C находятся гирьки с массами соответственно m ₁ , m ₂ и m ₃ . Центр масс данной системы будет

Если дана система с несколькими точками, где на каждой из точек существует груз, то вместо любой пары точек можно рассматривать их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух точек.

Таким образом: центр тяжести данной системы — это центр масс системы из двух точек O и C. Где точка O– это центр масс отрезка AB c массой m ₁ + m ₂ .

Ответ: Центр масс треугольника – это некоторая точка P на отрезке CO.
m=m ₁ +m ₂ +m ₃ .

Задача 3 . Дан треугольник ABC с массами m _A , m _B и m _C =1. Найти центр масс данного треугольника.

Найдем центр масс для точек A и B. В данном случае это будет точка M, которая является серединой отрезка AB, потому что в точках A и B стоят одинаковые массы. В точке M масса будет равна 2.

Таким образом, центр системы – точка O, которая делит отрезок MC в отношении 2/1 от вершины C. Данную аналогию можно провести с каждой вершиной.

Ответ: В треугольнике есть единственная точка O, которая делит каждую медиану в отношении 2/1 от вершины.

Отсюда следует известная теорема о медианах треугольника: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке в соотношении 2/1

Задача 4. Дан треугольник ABC. BM – медиана, AN делит сторону BC в отношении 1/2 от вершины B. AN пересекает BM в точке O. Найти отношение BO:OM.

Решение: Расположим в вершинах A и C массы, равные 1, а в вершину B – массу, равную 2. Тогда точка M – центр масс для точек A и C, и концентрирует массу, равную 2. Точка N – центр масс отрезка BC, т.к. BN:NC=1:2 (из условия), а mB:mC=2:1.

Предположим, что точка O – центр масс для отрезка BM. Тогда она является и центром масс для всего треугольника ABC и концентрирует в себе массу 2+2=4. Если O – центр масс треугольника, то здесь же и центр масс отрезка AN. Проверим это. В точке A сконцентрирована масса 1, в точке N – 3, а в точке O – 4.

1+3=4 , следовательно, O – центр масс отрезка AN и всего треугольника. Тогда отношение BO:OM = 2:2 = 1.

Задача 5. Дан треугольник ABC (рис.7). BM – медиана. Отрезок KP точкой K делит AB в отношении 2:1 от точки А, а точкой P делит отрезок BC в отношении 2:1 от вершины В. Отрезки KP и BM пересекаются в точке O . В каком отношении точка О делит отрезок KP ?

Решение: Расположим в вершинах А и С массы, равные 2. Рассмотрим отрезок BC . Предположим, что точка Р – центр масс данного отрезка. Определим, какая масса сконцентрирована в точке В.

Пусть она равна х, тогда:

= .

Получаем, что х = 1, а значит в точке Р масса, равная 3.

Теперь рассмотрим отрезок АВ. Масса в точке А равна 2. Пусть точка К – центр масс данного отрезка, тогда масса, заключенная в точке В равна 4, а в точке К – 6. Значит для всей системы точек в точке В сконцентрирована масса 5.

Допустим, что точка О – центр масс всего треугольника. В точке М сконцентрирована масса 4 ( mA = mC = 2, AM = CM , М – центр масс). Значит точка O – центр масс и для отрезка ВМ, а значит в точке О сосредоточена масса 4+5=9. А т.к. точка О принадлежит и отрезку КР, то из предположения о том, что О – центр масс треугольника, получаем, что эта точка – центр масс и для отрезка КР (в точке О сконцентрирована масса, равная сумме масс , расположенных в точках К и Р). А значит, что КО:ОР = 3:6 =1:2.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О — точка пересечения чевиан.

Решение . Помещаем в вершину С массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная пяти _, т. к. ВN: NC=1:5

1)СМТ 2А,5В,1С с центром масс в точке О.

2) 2A+1C=3M; 5В,3М — СМТ с центром масс в точке О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А — с центром масс в точке О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Ответ : ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1

Помещаем в вершину С массу, равную двум. Тогда по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная пяти, так как АМ: МС=2:5. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная 14 _, т. к. ВN: NC=1:7, а в тоске С масса 2.

1)Введем систему материальных точек 5А,14В,2С с центром масс в точке О.

2) 5A+2C=7M; 14В,7М — СМТ с ц.м. в т.О . По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2

3) 14В+2C=16N; 16N, 5А — с центром масс в точке О.. По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1

4) S _CMON =

Задача 8 (С4 ЕГЭ): Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС (АВ = 5, ВС = 12). Пусть точка J – центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Прямая, проходящая через точку J , параллельна одной из сторон треугольника АВС и пересекает две другие стороны в точках К и Р. Найдите длину отрезка КР.

Решение:

Треугольник ABC подобен треугольнику KBP , значит

= , = . Тогда

КР = .

2-й случай: КР = .

3-й случай: КР = .

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1 . В треугольнике ABC точка к делит сторону BC в отношении 1:4, считая от вершины B . В каком отношении отрезок AK делит медиану BM ?

Задача 2. B треугольнике ABC точки M , N , K расположены соответственно на сторонах AB , AC , BC так, что AM : MB = 1:4, AN : NC = 2:3, CK : KB = 3:2. Отрезки AK и MN пересекаются в точке L . Во сколько раз LK больше AL ?

Итоги урока : Сегодня на уроке мы познакомились с интересным методом решения геометрических задач — методом масс. А так же узнали интересные факты их жизни создателя этого метода — Архимеда.