Напряженность электростатического поля зависит от свойств среды (от с). Кроме того, вектор напряженности Е на границе диэлектриков претерпевает скачкообразное изменение. Введем для описания электрического поля системы зарядов с учетом поляризационных свойств диэлектриков вспомогательный вектор, использование которого во многих случаях упрощает изучение поля в диэлектриках.
Внутри диэлектрика поле определяется и сторонними, и связанными зарядами. Поэтому, исходя из теоремы Гаусса для вектора напряженности в вакууме (12.11) и учитывая величину плотности нескомпенсированного связанного заряда р’ в диэлектрике, запишем:
По теореме Гаусса для вектора поляризации (13.5)
Тогда имеем, что
где вектором электрического смещения (электрической индукции) называется вектор
Для изотропного диэлектрика с учетом формулы (13.3) получаем
Единица вектора электрического смещения в СИ — кулон на метр в квадрате (Кл/м 2 ).
Вектор D описывает электростатическое поле, создаваемое сторонними зарядами в вакууме, но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.
Аналогично линиям напряженности можно ввести линии электрического смещения. Направление и густота линий вектора электрического смещения определяются так же, как и для вектора напряженности Е.
Согласно уравнению (13.11), теорема Гаусса в дифференциальной форме для вектора D имеет вид
т.е. дивергенция поля вектора D равна объемной плотности стороннего заряда в той же точке.
Видео:Билет №16 "Теорема о циркуляции и теорема Гаусса для магнитного поля"Скачать
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля/;’ может быть сформулирована не только в интегральной форме, но и в дифференциальной (локальной) форме, отражающей локальные свойства электростатического поля. В соответствии с математической теоремой Остроградского — Гаусса поверхностный интеграл можно свести к объемному:
где объемный интеграл берется по объему V внутри замкнутой поверхности, дивергенция вычисляется по формуле
С учетом того что заряд можно также определить через объемный инте- трал но объему V, теорема Гаусса сводится к уравнению jdiv/: dV = — JpcIV,
Поскольку объем интегрирования выбран произвольно, то подынтегральное выражение должно тождественно обращаться в ноль. Таким образом, с помощью математической теоремы Остроградского — Гаусса получаем физическую теорему Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме:
Полученная формула иллюстрирует математический смысл дивергенции как отношения потока вектора через поверхность к бесконечно малому объему.
Видео:Билет №02 "Теорема Гаусса"Скачать
Теорема Гаусса в присутствии диэлектриков
Влияние диэлектриков на электрическое поле сводится к ответному действию возникающих в поле поляризационных зарядов. Теорема Остроградского-Гауса для тел в вакууме электростатического поля может быть трансформирована с помощью добавления к свободным зарядам поляризационных для получения теоремы с диэлектриками. В этом случае она запишется как:
Со значением q j s υ в качестве связанных зарядов, q i — свободных зарядов, Φ E — потока вектора напряженности электрического поля.
Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Теорема Остроградского-Гаусса
Если использовать вектор электрического смещения D → , то это заметно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Теорему Остроградского-Гаусса при наличии диэлектрика можно записать в интегральном виде:
∮ S D → · d S → = ∑ i = 1 N q i = Q , где Q является суммарным свободным зарядом, находящийся внутри объема, который ограничен поверхностью S .
Поток вектора D → через замкнутую поверхность может быть определен только с помощью свободных зарядов. В вакууме векторы D → и E → совпадающие.
Дифференциальная форма теоремы Гаусса выражения ∮ S D → · d S → = ∑ i = 1 N q i = Q изображается как:
d i v D → = ρ с ρ , являющейся объемной плотностью свободных зарядов.
Теорема Остроградского-Гаусса вида ∮ S D → · d S → = ∑ i = 1 N q i = Q и d i v D → = ρ справедлива только в электростатике и выполняется для переменных полей. Ее относят к составной части системы уравнений Максвелла.
Видео:Урок 223. Теорема ГауссаСкачать
Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме
Напомним формулу вектора электрической индукции:
D → = ε 0 E → + P → со значением ε 0 в качестве электрической постоянной, E → — вектора напряженности, P → — вектора поляризации.
Произведем подстановку формулы D → = ε 0 E → + P → в d i v D → = ρ :
d i v D → = d i v ε 0 E → + P → = ε 0 d i v E → + d i v P → .
При использовании теоремы Остроградского-Гаусса дифференциального вида, получим:
d i v E → = 1 ε 0 ρ — d i v P → .
Для вектора напряженности вышеуказанная формула примет вид в присутствии диэлектрика:
d i v E → = 1 ε 0 ρ + ρ s v с ρ s v , являющейся плотностью заряда. В этом случае необходимо применить d i v E → = 1 ε 0 ρ + ρ s v и d i v E → = 1 ε 0 ρ — d i v P → :
d i v P → = — 1 ε 0 c s v .
Видео:43. Применение теоремы ГауссаСкачать
Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков
Теорема Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике выглядит также, как и для напряженности поля в вакууме. Отсюда следует, что математические соотношения, получившиеся для E → поля в вакууме, аналогичны записям для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор D → .
Дан диэлектрический шар, имеющий диэлектрическую проницаемость ε 1 , равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда ρ . Его нахождение в среде обусловлено наличием диэлектрической проницаемости ε 2 . Изобразить график напряженности поля шара от расстояния до его центра.
Решение
Поле, создаваемое шаром по заданным условиям, имеет сферическую симметрию. Необходимо рассмотреть его внутри шара r ≤ R . Для нахождения E ( r ) выбирается сферическая поверхность с радиусом меньше сферы. По теореме Остроградского-Гаусса:
E · S = q ε 1 ε 0 , где S — площадь поверхности сферы, которая была выделена. Отсюда следует:
Заряд, находящийся внутри сферы, ищем из формулы:
q = ρ V = ρ 4 3 π r 3 .
Очевидно, что будут происходить изменения напряженности поля внутри шара r ≤ R , согласно выражениям:
E · 4 π r 2 = ρ 4 3 π r 3 ε 1 ε 0 ,
E = ρ r 3 ε 1 ε 0 .
Перейдем к рассмотрению поля вне шара r ≥ R . Для нахождения E ( r ) выбираем сферическую поверхность с радиусом больше радиуса сферы. По теореме Остроградского-Гаусса получим:
E · S = q ε 2 ε 0 , где S обозначает площадь поверхности выделенной сферы. Отсюда следует:
Формула S = 4 π r 2 имеет r ≥ R . Поэтому находящийся внутри заряд выделенной сферы находится из:
q = ρ V = ρ 4 3 π R 3 .
Далее следует подставить площадь из S = 4 π r 2 , заряд из q = ρ V = ρ 4 3 π R 3 , подставив в E · S = q ε 2 ε 0 :
E · 4 πr 2 = ρ 4 3 πR 3 ε 2 ε 0 .
E = ρ R 3 3 ε 2 ε 0 r 2 .
В результате запишем:
E = ρ r 3 ε 1 ε 0 п р и r ≤ R , E = ρ R 3 3 ε 2 ε 0 r 2 п р и r ≥ R .
Ответ: графики показаны на рисунке 1 . Внутри шара напряженность увеличивается прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара она равняется E
1 r 2 . На границе диэлектриков происходит разрыв. Кривая под номером 1 соответствует условию ε 1 > ε 2 .
Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: 1 ) все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, 2 ) произвести замену сферической поверхности на кубическую?
Решение
- По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:
Φ E = ∮ S E → d S → = 1 ε 0 q + ∑ j = 1 K q j s v , со значением q j s v в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, q в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.
Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:
Φ E = ∮ S E → d S → = 1 ε 0 q .
- Поле было создано при помощи точечного свободного заряда, то при замене формы поверхности потока вектор напряженности не будет изменяться, потому как равняется аналогичным значению заряда, находящегося на поверхности.
🔥 Видео
Электрическое поле. Теорема ГауссаСкачать
Лекция 4-4 Теорема Гаусса в дифференциальной формеСкачать
Электростатическое поле в вакууме. Теорема Гаусса.Скачать
44. Электрическое поле в диэлектрике. Вектор поляризованностиСкачать
Лекция 1. Электрическое поле в вакууме, теорема Гаусса. По учебнику Иродова.Скачать
ЧК_МИФ_3_1_2_3 (L3) ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРЕМЫ ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ СИММЕТРИЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙСкачать
42. Теорема Гаусса. Расчет электростатических полейСкачать
Лекция 4-5 Доказательство теоремы Гаусса для вектора поляризацииСкачать
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Физический кружок: теорема Гаусса, диэлектрики | Второе занятиеСкачать
45. Электрическое смещениеСкачать
Билет №06-08 "Диэлектрики"Скачать
Электростатика. Теорема Остроградского - ГауссаСкачать
Физика. 10 класс. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса /18.01.2021/Скачать
Как решать задачи с помощью теоремы Гаусса.Скачать