Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырехугольник с прямыми углами — это. Сумма углов четырехугольника

Одна из наиболее интересных тем по геометрии из школьного курса – это «Четырехугольники» (8 класс). Какие виды таких фигур существуют, какими особыми свойствами они обладают? В чем уникальность четырехугольников с углами по девяносто градусов? Давайте разберемся во всем этом.

Содержание
  1. Какая геометрическая фигура называется четырехугольником
  2. Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе
  3. Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников
  4. Виды параллелограмма
  5. Особые свойства прямоугольника
  6. Квадрат и его особенности
  7. Чему равна сумма углов четырехугольника
  8. Периметр четырехугольников
  9. Формулы четырехугольников площади
  10. Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности
  11. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  12. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  13. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  14. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  15. Параллелограмм
  16. Параллелограмм и его свойства
  17. Признаки параллелограмма
  18. Прямоугольник
  19. Признак прямоугольника
  20. Ромб и квадрат
  21. Свойства ромба
  22. Трапеция
  23. Средняя линия треугольника
  24. Средняя линия трапеции
  25. Координаты середины отрезка
  26. Теорема Пифагора
  27. Справочный материал по четырёхугольнику
  28. Пример №1
  29. Признаки параллелограмма
  30. Пример №2 (признак параллелограмма).
  31. Прямоугольник
  32. Пример №3 (признак прямоугольника).
  33. Ромб. Квадрат
  34. Пример №4 (признак ромба)
  35. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  36. Пример №5
  37. Пример №6
  38. Трапеция
  39. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  40. Центральные и вписанные углы
  41. Пример №8
  42. Вписанные и описанные четырёхугольники
  43. Пример №9
  44. Пример №10
  45. math4school.ru
  46. Четырёхугольники
  47. Основные определения и свойства
  48. Описанные четырёхугольники
  49. Вписанные четырёхугольники
  50. Параллелограмм
  51. Прямоугольник
  52. Квадрат
  53. Трапеция
  54. Дельтоид
  55. Ортодиагональные четырёхугольники

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Какая геометрическая фигура называется четырехугольником

Многоугольники, которые состоят из четырех сторон и, соответственно, из четырех вершин (углов), называются в евклидовой геометрии четырехугольниками.

Интересна история названия этого вида фигур. В российском языке существительное «четырехугольник» образовано от словосочетания «четыре угла» (точно так же, как «треугольник» — три угла, «пятиугольник» — пять углов и т. п.).

Однако на латыни (через посредничество которой пришли многие геометрические термины в большинство языков мира) он называется quadrilateral. Это слово образовано из числительного quadri (четыре) и существительного latus (сторона). Так что можно сделать вывод, что у древних этот многоугольник именовался не иначе как «четырехсторонник».

Кстати, такое название (с упором на наличие у фигур этого вида четырех сторон, а не углов) сохранилось в некоторых современных языках. Например, в английском – quadrilateral и в французском – quadrilatère.

При этом в большинстве славянских языков рассматриваемый вид фигур идентифицируют все так же по количеству углов, а не сторон. Например, в словацком (štvoruholník), в болгарском («четириъгълник»), в белорусском («чатырохкутнік»), в украинском («чотирикутник»), в чешском (čtyřúhelník), но в польском четырехугольник именуют по количеству сторон – czworoboczny.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе

В современной геометрии выделяются 4 вида многоугольников с четырьмя сторонами.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • Параллелограмм (parallelogram). Противолежащие стороны четырехугольника такого попарно параллельны между собой и, соответственно, равны также попарно.
  • Трапеция (trapezium или trapezoid). Этот четырехугольник состоит из двух противолежащих сторон, параллельных между собой. Однако другая пара сторон не имеет такой особенности.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников

Помимо вышеперечисленных, существуют еще два вида четырехугольников, с которыми школьников не знакомят на уроках геометрии, из-за их особой сложности.

  • Дельтоид (kite) — фигура, в которой каждая из двух пар смежных сторон равна по длине между собою. Свое название такой четырехугольник получил из-за того, что по внешнему виду он довольно сильно напоминает букву греческого алфавита — «дельта».
  • Антипараллелограмм (antiparallelogram) – эта фигура так же сложна, как и ее название. В ней две противоположные стороны равны, но при этом они не параллельны между собою. Кроме того, длинные противоположные стороны этого четырехугольника пересекаются между собой, как и продолжения двух других, более коротких сторон.

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Виды параллелограмма

Разобравшись с основными видами четырехугольников, стоит обратить внимание на его подвиды. Так, все параллелограммы, в свою очередь, тоже делятся на четыре группы.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • Классический параллелограмм.
  • Ромб (rhombus) – четырехугольная фигура с равными сторонами. Ее диагонали пересекаются под прямым углом, деля ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
  • Прямоугольник (rectangle). Название это говорит само за себя. Так как это четырехугольник с прямыми углами (каждый из них равен девяноста градусам). Противоположные стороны его не только параллельны между собою, но и равны.
  • Квадрат (square). Как и прямоугольник, это четырехугольник с прямыми углами, но у него все стороны равны между собой. Этим данная фигура близка к ромбу. Так что можно утверждать, что квадрат — это нечто среднее между ромбом и прямоугольником.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Особые свойства прямоугольника

Рассматривая фигуры, в которых каждый из углов между сторонами, равен девяноста градусам, стоит более внимательно остановиться на прямоугольнике. Итак, какими особенными он обладает признаками, отличающими его от других параллелограммов?

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Чтобы утверждать, что рассматриваемый параллелограмм – прямоугольник, его диагонали должны быть равны между собою, а каждый из углов — прямыми. Кроме того, квадрат его диагоналей должен соответствовать сумме квадратов двух смежных сторон этой фигуры. Иными словами, классический прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников, а в них, как известно, сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. В роли гипотенузы выступает диагональ рассматриваемого четырехугольника.

Последний из перечисленных признаков этой фигуры является также ее особенным свойством. Помимо этого, есть и другие. Например, то, что все стороны изучаемого четырехугольника с прямыми углами — это одновременно и его высоты.

Кроме того, если вокруг любого прямоугольника начертить круг, его диаметр будет равен диагонали вписанной фигуры.

Среди других свойств четырехугольника этого, то, что он является плоским и в неевклидовой геометрии не существует. Это связано с тем, что в такой системе отсутствуют четырехугольные фигуры, сумма углов которых равна трехстах шестидесяти градусам.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Квадрат и его особенности

Разобравшись с признаками и свойствами прямоугольника, стоит обратить внимание на второй известный науке четырехугольник с прямыми углами (это квадрат).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Являясь по факту тем же прямоугольником, но с равными сторонами, эта фигура обладает всеми его свойствами. Но в отличие от него, квадрат присутствует в неевклидовой геометрии.

Кроме этого, у данной фигуры, есть и другие собственные отличительные черты. Например, то, что диагонали квадрата не просто равны между собою, но и пересекаются под прямым углом. Таким образом, как и ромб, квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников, на которые ее делят диагонали.

Помимо этого, данная фигура является самой симметричным среди всех четырехугольников.

Видео:Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.

Чему равна сумма углов четырехугольника

Рассматривая особенности четырехугольников евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на их углы.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Так, в каждой из вышеперечисленных фигур, независимо от того, есть у нее прямые углы или нет, общая сумма их всегда одинакова – триста шестьдесят градусов. Это уникальная отличительная черта этого вида фигур.

Видео:29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Периметр четырехугольников

Разобравшись с тем, чему равна сумма углов четырехугольника и другими особенными свойствами фигур этого вида, стоит узнать, какими формулами лучше всего пользоваться, чтобы вычислить их периметр и площадь.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Чтобы определить периметр любого четырехугольника, нужно лишь сложить между собою длину всех его сторон.

Например, в фигуре KLMN ее периметр можно вычислить по формуле: Р = KL + LM + MN + KN. Если подставить сюда числа, получится: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

В случае когда рассматриваемая фигура – это ромб или квадрат, для нахождения периметра можно упростить формулу, просто помножив длину одной из его сторон на четыре: Р = KL х 4. Например: 6 х 4=24 (см).

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 класс

Формулы четырехугольников площади

Разобравшись с тем, как найти периметр любого фигуры с четырьмя углами и сторонами, стоит рассмотреть наиболее популярные и простые способы нахождения ее площади.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • Классический способ вычисления ее – это использовать формулу S=1/2 КМ х LN х SIN LON. Получается, что площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла, расположенного между ними.
  • Если фигура, чью площадь нужно найти — это прямоугольник или квадрат (диагонали которых всегда равны между собой), можно упростить формулу, возведя в квадрат длину одной диагонали и умножив ее на синус угла между ними и разделив все пополам. Например: S=1/2 КМ 2 х SIN LON.
  • Также при нахождении площади прямоугольника может помочь информация о периметре рассматриваемой фигуры и длине одной из ее сторон. В таком случае наиболее целесообразно будет воспользоваться формулой S = KN х (Р – 2 KN)/2.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности

Рассмотрев особенности и свойства четырехугольника как фигуры евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на возможность описывать вокруг или вписывать внутри него круги:

  • Если суммы противолежащих углов фигуры составляют по сто восемьдесят градусов и попарно равны между собою, то вокруг такого четырехугольника можно свободно описать окружность.
  • Согласно теореме Птолемея, если снаружи многоугольника с четырьмя сторонами описан круг, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон данной фигуры. Таким образом, формула будет выглядеть так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.
  • Если построить четырехугольник, в котором суммы противоположных сторон равны между собою, то в него можно вписать круг.

Разобравшись с тем, что такое четырехугольник, что за виды его существуют, какие из них имеют только прямые углы между сторонами и какими свойствами они обладают, стоит запомнить весь этот материал. В особенности формулы нахождения периметра и площади рассмотренных многоугольников. Ведь фигуры такой формы — одни из самых распространенных, и эти знания могут пригодиться для вычислений в реальной жизни.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиуглы Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляются внешними.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламито параллелограмм Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляется ромбом.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство теоремы 1.

Дано: Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиромб.

Докажите, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство (словестное): По определению ромба Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиравнобедренный. Медиана Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(так как Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТак как Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляется прямым углом, то Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Аналогичным образом можно доказать, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

План доказательства теоремы 2

Дано: Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиравнобедренная трапеция. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Докажите: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламитогда Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипроведем параллельную прямую к прямой Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламичерез точку Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами— середину стороны Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипроведите прямую параллельную Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиКакая фигура получилась? Является ли Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламитрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиМожно ли утверждать, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Пусть дан треугольник Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии его средняя линия Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПроведём через точку Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипрямую параллельную стороне Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламит.е. совпадает со средней линией Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТ.е. средняя линия Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипараллельна стороне Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеперь проведём среднюю линию Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТ.к. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламито четырёхугольник Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПо теореме Фалеса Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТогда Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство: Через точку Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии точку Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламисередину Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламичерез Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламирадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии точка Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикоторая является серединой отрезка Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламито Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиа отсюда следует, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

2) По теореме Фалеса, если точка Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляется серединой отрезка Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламито на оси абсцисс точка Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

3) Координаты середины отрезка Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламис концами Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиточки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламинаходятся так:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламито, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами— прямоугольный.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламитакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Наталия Павловна Стрелкова, "Внутренняя метрика и экстремальные задачи на многогранниках"Скачать

Наталия Павловна Стрелкова, "Внутренняя метрика и экстремальные задачи на многогранниках"

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Решение:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(АВ CD, ВС-секущая), Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(ВС || AD, CD — секущая), Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. По свойству углов четырёхугольника, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Следовательно, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо двум сторонами и углу между ними.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПри помощи циркуля сравните длины отрезков Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказать: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Проведём через точки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипрямые Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипараллельные ВС. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо стороне и прилежащим к ней углам. У них Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипо условию, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак противоположные стороны параллелограммов Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиПроведём прямую Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Через точки Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламипроведём прямые, параллельные прямой Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказать: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Поэтому Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак вертикальные, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламивнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиравнобедренный. Поэтому Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламисоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. По свойству внешнего угла треугольника, Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Из доказанного в первом случае следует, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиизмеряется половиной дуги AD, a Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами— половиной дуги DC. Поэтому Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламикак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказать: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Тогда Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Докажем, что Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами. По свойству равнобокой трапеции, Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Тогда Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламии, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламицентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламивписанного в окружность. Действительно,

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Следовательно, четырёхугольник Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

math4school.ru

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Четырёхугольники

Видео:КАК РАЗМЕТИТЬ ФУНДАМЕНТ СВОИМИ РУКАМИ / КАК НАЙТИ ДИАГОНАЛИ ФУНДАМЕНТА / КАК ВЫСТАВИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ /Скачать

КАК РАЗМЕТИТЬ ФУНДАМЕНТ СВОИМИ РУКАМИ / КАК НАЙТИ ДИАГОНАЛИ ФУНДАМЕНТА / КАК ВЫСТАВИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ /

Основные определения и свойства

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если M , N , P , Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD , а R , S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ , MRPS , NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD . Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны; MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны; MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Отрезки MP , NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP , NG=GQ , RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP 2 + NQ 2 + RS 2 = ¼ (AB 2 +BC 2 +CD 2 +AD 2 +AC 2 +BD 2 ).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Описанные четырёхугольники

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

Площадь описанного четырёхугольника:

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK = AN , BK = BL , CL = CM , DM = DN .

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD = ∠BOC+∠AOD =180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b , CD = c и AD = d верны соотношения:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Видео:Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]Скачать

Мнимая ошибка, над которой ломали голову 2 000 лет [Veritasium]

Вписанные четырёхугольники

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь вписанного четырёхугольника:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллелограмм

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A +∠ B =∠ B +∠ C =∠ C +∠ D =∠ A +∠ D =180°.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ ABC =∠ CDA ; ∠ ABD =∠ CDB .

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e 2 +f 2 = a 2 +b 2 +a 2 +b 2 = 2(a 2 +b 2 ).

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:
  • через две его стороны и угол между ними:
Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

∠ ABD =∠ CBD =∠ ADB =∠ CDB ; ∠ BAC =∠ DAC =∠ BCA =∠ DCA .

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через диагонали ромба и сторону:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь ромба можно определить:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через сторону и угол ромба:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через сторону и радиус вписанной окружности:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Прямоугольник

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через диагонали и угол между ними:
Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

Квадрат

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Радиус вписанной окружности:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапеция

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AED ∼ Δ BEC , k = AD / BC .

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

Δ AОD ∼ Δ CОВ , k = AD / BC .

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

У равнобокой трапеции:

  • углы при основании равны:
  • сумма противолежащих углов равна 180?:

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через диагонали и угол между ними:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Дельтоид

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:
Теорема четырехугольника с 2 прямыми угламиТеорема четырехугольника с 2 прямыми углами

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Ортодиагональные четырёхугольники

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d ²;
  • для площади четырёхугольника верно: S = ½ef ;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.
Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

Теорема четырехугольника с 2 прямыми углами

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О , то верны соотношения:

Поделиться или сохранить к себе: