Тело вращается вокруг неподвижной оси чему равны главный вектор и главный момент (8 видео)

Главный вектор и главный момент сил.

Связи и реакции связей.

Связь осуществляется при помощи гибкого тела, нити, каната или троса. Реакция такой связи приложена к телу в точке прикрепленной к нему нити. Перечислим некоторые типы связей, предполагая, что они изготовлены из абсолютно твердых материалов и трение в местах их соприкосновения с рассматриваемыми телами отсутствует.

2)Шарнирное соединение тел (сферический шарнир, шарнирная опора неподвижная).

Система сходящихся сил.

Системой сходящихся сил наз-ют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными или плоскими, расположенные в одной плоскости.

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

Предположим сначала, что на тело действуют две силы и , приложенные в одной точке A и образующие между собой угол . Равнодействующая этих двух сил, согласно аксиоме о параллелограмме сил, равна сумме этих сил, т.е. (рис.2.1,б)

. Модуль равнодействующей можно определить из треугольника ABC , заметив, что ?ABC=180. по теореме косинусов:

Момент силы относительно точки и оси.

Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.Численное значение момента силы F относительно точки О будем обозначать mo(F). Тогдаmo(F) = ±Fh.Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина момента проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения этой плоскости с осью. Момент силы F относительно оси считается положительным, если наблюдатель, смотрящий с положительного направления оси, видит поворот, совершаемый составляющей Fxy силы F, происходящим против хода часовой стрелки.Из определения момента силы относительно оси следует

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее. В обоих случаях сила и ось лежат в одной плоскости. Момент имеет знак +, если сила стремится повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки. Знак -, если сила стремится повернуть тело по часовой стрелке. Отметим след. св-во момента сил: момент силы не изм-ся пори переносе точки приложения силы вдоль ее действия. Момент силы относительно центра равен 0 только тогда, когда сила равна 0 или когда линия действия силы проходит через центр О. Момент силы численно равен удвоенной площади треугольника.

9Приведение к равнодействующей силе сходящихся сил.

Сложить 2 силы или неск. сил – это значит найти их равнодействующую. Задача о сложении 2х сил, приложенных к тв. телу в одной точке решается на основании правила параллелограмма.

Системой сходящихся сил называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке

Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими, т.е. расположенными в одной плоскости.

.величина равнодействующей определится следующей формулой:

Для определения направления равнодействующей к воспользуемся обычными выражениями для направляющих косинусов:

Пара сил и ее момент.

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на тело. Действие пары сил на тело сводится к вращательному эффекту. Для характеристики этого эффекта вводится понятие момента пары.:Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо. Для равновесия пар сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы модуль векторного момента эквивалентной пары сил был равен нулю или чтобы векторный многоугольник, построенный на векторных моментах заданных пар сил, был замкнут.Момент пары считается положительным, если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным – если по ходу часовой стрелки.

Главный вектор и главный момент сил.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки O тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки. Таким образом, основную теорему статики (теорему Пуансо) в краткой форме можно выразить так: Каждую систему сил можно привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра.

Видео:Вращение тела вокруг неподвижной осиСкачать

Главный вектор и главный момент сил инерции

Находить значения главного вектора и главного момента сил инерции непосредственно по формулам (22.6) затруднительно, так как в общем случае будем иметь дело с множеством сил инерции всех материальных точек системы. Поэтому целесообразно получить выражения главного вектора и главного момента сил инерции через параметры, характеризующие в целом механическую систему и ее движение.

Подставив в первое из равенств (22.7) значение ZT 7 / из теоремы о движении центра масс Ма_с = ЕГ/ (см. § 17.3), найдем

т. е. главный вектор сил инерции механической системы направлен противоположно вектору а_с, а модуль его равен произведению массы системы на ускорение ее центра масс.

Подставив теперь во второе из равенств (22.7) значение ‘Lni₀(F_k e ) из теоремы моментов (см. § 18.2) dK₀/dt = Y.m₀(F?), найдем

т. е. главный момент сил инерции механической системы относительно некоего центра О направлен противоположно вектору производной по времени от кинетического момента системы относительно того же центра.

Аналогичным будет соотношение для моментов относительно оси. Так, относительно оси z будет

Таким образом, все силы инерции механической системы можно эквивалентно заменить двумя векторами: силой Я ф , приложенной в произвольно выбранном центре О, и парой сил с моментом, равным М ф .

Рассмотрим, как эти величины определяются для твердого тела.

Если тело совершает поступательное движение, то ускорения всех его точек одинаковы и равны ускорению а_с центра масс С

тела (а_к =а_с). Следовательно, все силы инерции —т_ка_к образуют систему параллельных сил, которая приводится к равнодействующей Я ф = -Ма_с, линия действия которой будет проходить через точку С (здесь полная аналогия с силами тяжести). Сумма моментов сил инерции относительно точки С будет равна нулю.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz, величину главного момента сил инерции относительно этой оси определим, подставив в формулу (22.11) значение K_z = J_zсо (см. § 18.1):

т. е. модуль M°_Z = J_zs, а направление момента противоположно

направлению углового ускорения е (это следует учитывать при выполнении чертежей для расчета).

Следовательно, система сил инерции такого вращающегося тела приводится к приложенной в точке О силе Я ф , определяемой формулой (22.8), и к паре, момент которой определяется формулой (22.12).

В частном случае, когда тело вращается вокруг оси Cz, проходящей через его центр масс С, получим R ф = 0, так как а_с = 0, и система сил инерции приводится лишь к одной паре с моментом

ф , определяемой формулой (22.8) и приложенной в центре масс С тела, и паре сил с моментом = — /_Сге (ось Cz перпендикулярна плоскости движения).

Видео:§4.3. Главный вектор и главный момент сил инерцииСкачать

Тема 1.10. Вращения тела вокруг неподвижной оси

§1. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором , проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

Рис.1. Движения тела по окружности

За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l.

Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.

Скорость движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена:

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду .

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω=const; v=const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t₀=0 угловая координата равна φ₀, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t₀ равен ∆φ=φ-φ₀. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности: φ=φ₀+ωt

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t.

— формула связи между линейнойи угловой скоростью.

Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения: где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt.

За время ∆t=Т тело проходит путь l=2πR. Следовательно,

Величина ϑ, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения:

§2. Ускорение при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью (центростремительное ускорение)

При равномерном вращении по окружности модуль скорости движения тела не изменяется, но направление скорости изменяется непрерывно. Следовательно, данное движение — движение с ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению.

Рис.2. Равномерное движение тела по окружности

направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:

Модуль , направление непрерывно изменяется (рис. 3). Поэтому данное движение не является равноускоренным.

Рис.3. Направление центростремительного ускорения

§3.Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.4).

Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения (Т). Величина, обратная периоду, — частота вращения (ν).

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплоскость — неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 4).