Тангенс между двумя векторами

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами.

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Формула вычисления угла между векторами

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Примеры задач на вычисление угла между векторами

Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6

Найдем угол между векторами:

Решение: Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Найдем модули векторов:

| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2

Найдем угол между векторами:

cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:9 класс, 17 урок, Угол между векторамиСкачать

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Как найти угол между векторами

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Угол между векторами

Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $overline$ и $overline$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $overline=overline$ и $overline=overline$, тогда угол $AOB$ будет носить название угол между двумя векторами. (рис. 1).

Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Причем мы будем считать, что если векторы $overline$ и $overline$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^circ$.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения

Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Скалярное произведение двух данных векторов $overline$ и $overline$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$overlinecdot overline=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$

Готовые работы на аналогичную тему

Обозначение: $overlinecdot overline$.

С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $overline$ и $overline$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что

Из теоремы 1 мы знаем, что $overlinecdot overline=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline|$ и $|overline|$, окончательно получим

Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.

Найти косинус угла между векторами $overline$ и $overline$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:

$overlinecdot overline=1cdot 3+(-2)cdot 0+2cdot 4=11$

Найдем длины этих векторов:

В результате, получим

Видео:Вычислить синус угла между векторамиСкачать

Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения

Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.

Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|overlineхoverline|=|overline||overline|sin⁡∠(overline,overline)$
2. $overlineхoverline⊥overline$, $overlineхoverline⊥overline$
3. $(overlineхoverline,overline,overline)$ и $(overline,overline,overline)$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:

С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $overline$ и $overline$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что

Найдем вектор векторного произведения по формуле:

$overlineхoverline=beginoverline&overline&overline\δ_1&δ_2&δ_3\β_1&β_2&β_3end=(δ_2 β_3-δ_3 β_2,δ_3 β_1-δ_1 β_3,δ_1 β_2-δ_2 β_1)$

Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline|$, $|overline|$ и $|overlineхoverline|$, окончательно получим

Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.

Найти синус угла между векторами $overline$ и $overline$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.

Решение.

Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:

Найдем длины этих векторов:

В результате, получим

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 20 07 2022

📹 Видео

11 класс, 5 урок, Угол между векторамиСкачать

§16 Угол между двумя прямыми на плоскостиСкачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Как находить угол между векторамиСкачать

Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Косинус угла между векторами. Коллинеарность векторовСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Угол между прямыми на плоскостиСкачать

Угол между двумя прямыми как найти, формулы, решение задачиСкачать

11 класс, 7 урок, Вычисление углов между прямыми и плоскостямиСкачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать