Свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве

§3.3. Свойства параллельных прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку A, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Пусть (AB) данная прямая, C – точка, не лежащая на ней. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка B лежит в одной из них. В соответствии с аксиомой 3.2 можно от луча СA отложить угол (ACD), равный углу (CAB), в другую полуплоскость. ∠ACD и ∠CAB – равные внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей (AC) Тогда в силу теоремы 3.1 (AB) || (CD). С учетом аксиомы 3.1 теорема доказана.

Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Пусть (AB) || (CD). Предположим, что ∠ACD ≠ ∠BAC. Через точку A проведем прямую AE так, что ∠EAC = ∠ ACD. Но тогда по теореме 3.1 (AE) || (CD), а по условию – (AB) || (CD). В соответствии с теоремой 3.2 (AE) || (AB). Это противоречит теореме 3.3, по которой через точку A, не лежащую на прямой CD, можно провести единственную прямую, параллельную ей. Теорема доказана.

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространствеРис. 3.3.1. К теореме 3.4

На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.

  • Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
  • Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.

Два луча называются одинаково направленными, если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.

Два луча называются противоположно направленными, если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.

Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: [ A B ) ↑ ↑ [ C D ) , а противоположно направленные лучи AB и CD – [ A B ) ↑ ↓ [ C D ) .

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространствеРис. 3.3.2.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

Определение параллельных прямых в пространстве

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Понятие о параллельных прямых

Прямые (a) и (b) являются параллельными в трехмерном пространстве только в том случае, если они находятся в одной плоскости и не пересекаются.

Если рассмотреть примеры, то параллельные прямые мы можем наблюдать как противоположные края у прямоугольного или квадратного стола, железнодорожные рельсы и шпалы, провода линий электропередач, линии в тетради в полоску и прочее. Таких примеров из реального мира можно привести очень много.

Другими вариантами прямых, расположенных в 3D-пространстве, есть их скрещивание и пересечение. Пересекающимися есть прямые, имеющие общую точку, она же и есть точкой пересечения. Скрещивающимися есть прямые, расположенные в разных плоскостях и не параллельные между собой.

Есть ряд теорем, описывающих поведение параллельных прямых в пространстве. Рассмотрим их подробнее.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Теоремы о параллельности двух прямых

  1. если две прямые в пространстве перпендикулярные к одной плоскости, то они параллельные между собой;
  2. через точку в пространстве, что не расположена на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, параллельную заданной.

Доказательство теоремы : Через прямую a и точку (M) , не находящуюся на данной прямой, проведем плоскость ∝. Эта плоскость определяется заданной прямой a и точкой (M) , то есть она однозначно определена.

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве

Для доказательства этой теоремы применим евклидовую аксиому из планиметрии про параллельные прямые.
Таким образом, через точку (M) возможно проложить лишь одну прямую, параллельную прямой (a) , и ее существование доказано. Назовем эту прямую (b) .
Два отрезка будут параллельными при их расположении на параллельных прямых.

Видео:4. Параллельные прямые в пространствеСкачать

4. Параллельные прямые в пространстве

Свойства параллельных прямых в пространстве

Некоторые свойства пересекаются с вышеизложенными теоремами, но все же рассмотрим их все:

  1. имея две параллельных прямых, одна из которых параллельная третьей прямой, можно утверждать, что вторая тоже будет параллельна третьей;
  2. если из двух параллельных прямых одна пересекает некую плоскость, то и вторая так же будет ее пересекать. Это свойство является леммой про две параллельные прямые в пространстве, ее применяют при обоснованиях различных геометрических теорем;
  3. при помощи двух параллельных прямых можно изобразить однозначно заданную плоскость;
  4. через любую точку, находящуюся в 3D-пространстве и не расположенную на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, что параллельна заданной.

Рассмотрим подробнее лемму про параллельные прямые и докажем ее. К примеру, некая прямая (b) пересекает плоскость (∝) в точке (M) , что расположена на заданной плоскости. Параллельные прямые a и образуют некую плоскость (β) . Таким образом, если точка (M) общая для плоскостей (∝) и (β) , то эти плоскости пересекаются, линию пересечения обозначим c, на ней расположена точка (M) .
Все прямые (a) , (b) и (c) расположены в плоскости (β) .

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

В соответствии с аксиомой планиметрии, при пересечении одной из параллельных прямых третьей прямой, вторая так же будет ее пересекать.

В нашем варианте прямая a пересекает прямую c в точке (K) .

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве

Точка (K) расположена одновременно на прямой a и на плоскости (∝) , значит она есть общей для них. Таким образом, прямая a пересекает плоскость (∝) .

Видео:10 класс - Геометрия - Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямыхСкачать

10 класс - Геометрия - Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых

Пример задачи о параллельных прямых

Заданы прямые (a) и (b) , описывающиеся уравнениями. Определить, параллельны ли заданные прямые.
(a: == ) ;

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве

При совпадении прямых или если они параллельны их направляющие векторы (s_1) и ( s_2) будут коллинеарными, таким образом, их координаты будут иметь следующее соотношение:

Для того, чтобы найти направляющие вектора, воспользуемся каноническими уравнениями, таким образом для прямой a вектор (s_1) будет равен .

Для прямой b найдем направляющий вектор при помощи произведения нормальных векторов плоскостей, на которых он расположен:

Свойство транзитивности параллельных прямых в пространстве

Таким образом, соблюдается вышеуказанное условие, значит эти прямые либо параллельны, либо совпадают. Необходимо определить каковыми именно они являются: параллельны или совпадают. Возьмем некую точку (K) с координатами (1;2;-1), находящуюся на прямой a, и подставим ее координаты в уравнение прямой (b) :
1-2+1+1=0;1=0,

Равенство не выполняется, таким образом, точка (K) не расположена на прямой (b) , а это означает, что прямые (a) и (b) не совпадают, соответственно они параллельны.

📸 Видео

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Видеоурок "Параллельные прямые в пространстве"Скачать

Видеоурок "Параллельные прямые в пространстве"

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ТРЕХ ПРЯМЫХ в пространствеСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ТРЕХ ПРЯМЫХ в пространстве

10 класс, 11 урок, Свойства параллельных плоскостейСкачать

10 класс, 11 урок, Свойства параллельных плоскостей

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямых в пространстве. 10 класс.

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости
Поделиться или сохранить к себе: