Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Поскольку отрезок BD является медианой, то

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна Свойство медиан треугольника доказательство через векторыплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с начала 8 класса.

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойство медиан треугольника доказательство через векторыДано : ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

из чего следует, что

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

Свойство медиан треугольника доказательство через векторы

Что и требовалось доказать .

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

7 Comments

Промогите пожалуйста:
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла до гипотенузы провели медиану длинной 50см и перпендикуляр 48см. Вычислить периметр.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, гипотенуза 100 см. Пусть катеты равны x см и y см. По теореме Пифагора x²+y²=100². Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне S=0,5∙100∙48 см², либо половине произведения катетов S=0,5∙x∙y. Отсюда xy=4800.
Решаем систему уравнений: x²+y²=100²; xy=4800. Решения (60;80) (80;60). То есть катеты 60 см и 80 см. Периметр P=60+80+100=240 см.
(Не обязательно доводить решение системы до конца. Достаточно найти x+y. Для этого к 1-му уравнению прибавим удвоенное 2-е, получим
x²+2xy+y²=19600; x+y=140).

Прошу помощи в решении задачи: на стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Во-первых, большое спасибо за решение, даже не ожидала ответа, но, по счастью, ошиблась! Но я к этому времени уже решила так:провела ВМ, которая в равностороннем треугольнике является также высотой.
Рассмотрим четырехугольник ОВМС: угол ВОС =углу ВМС=90 градусов (диагонали ромба взаимно перпендикулярны),отсюда, ВМ параллельна ОС, тогда угол МОС=20 градусам. Рассм. треугольник ОМС: угол МСО= 180-20-70=90 градусов, и одновременно= 60+x, т.о., угол х=30 градусам, и искомый острый угол ромба=60 градусам. Мы получили разные ответы, в чем может быть дело (окружности мы еще не проходили).

Наталия углы BOC и BMC не накрест лежащие и не внутренние односторонние, поэтому BM не параллельна OC. Но вариант решения без окружности возможен, добавила второй способ.

Видео:Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?Скачать

Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?

Свойства медианы треугольника. Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

Свойства медианы треугольника

Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации. Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Свойство медиан треугольника доказательство через векторыОтложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда в четырёхугольнике ABKC диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2Свойство медиан треугольника доказательство через векторыСвойство медиан треугольника доказательство через векторыAM + Свойство медиан треугольника доказательство через векторыBN + Свойство медиан треугольника доказательство через векторыCK Свойство медиан треугольника доказательство через векторы> AB + BC + AC.

Отсюда следует, что AM + BN + CK > Свойство медиан треугольника доказательство через векторы(AB + BC + AC).

Свойство медиан треугольника доказательство через векторыОтложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм. Поэтому

BA1 = AC, 2AM = AA1 SDEF’ , то SAED+SBFD>SDEF , следовательно, указанным образом расположить точки невозможно.

так расположить точки нельзя.

Источник: Окружная олимпиада (Москва) , 2008 г, 11 класс

№32 Темы: Удвоение медианы. Ортоцентр и ортотреугольник Сложность:5 + Три точки, лежащие на одной прямой Подобные треугольники Классы: 9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A , B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM , BM , CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH .

Свойство медиан треугольника доказательство через векторыРешение

Пусть A’B’C’ – треугольник, образованный

проведенными прямыми и G – точка пересечения его

медиан. Мы докажем, что M является серединой отрезка GH . Достроим треугольник BMC до параллелограмма BMCA1 . Отрезок MA1 делит сторону BC пополам, поэтому A1 лежит на прямой AM , причем AM = A1M (поскольку точка M делит медиану в отношении 2:1 ). Кроме того, BA1|| MC Свойство медиан треугольника доказательство через векторыA’B’ и CA1|| MB Свойство медиан треугольника доказательство через векторыA’C’ , поэтому BA1 и CA1 – высоты треугольника BA’C , значит A1 является ортоцентром треугольника BA’C , и

A’A1 Свойство медиан треугольника доказательство через векторыBC . Стороны треугольника BA1M перпендикулярны

сторонам треугольника A’B’C’ соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причем соответствующие прямые BC и

AG , содержащие медианы этих треугольников,

перпендикулярны. Значит, прямая A’G совпадает с прямой A’A1 . Пусть G’ – точка, симметричная точке H относительно M . Треугольники AHM и A1G’M симметричны относительно M , поэтому A1G’|| AH Свойство медиан треугольника доказательство через векторыBC . Отсюда следует, что G’ лежит на прямой A’G . Аналогично, получаем, что G’ лежит на прямой B’G , то есть G’ совпадает с G .

Источник: Всероссийская олимпиада по математике, 2008 г, 9 класс

Отрабатываем умение: самостоятельно решать задачи.

Свойства медианы. Площадь треугольника

1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна Свойство медиан треугольника доказательство через векторы. Найдите площадь треугольника.

4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, Свойство медиан треугольника доказательство через векторы, Свойство медиан треугольника доказательство через векторы. Чему равен квадрат третьей стороны?

5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.

6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.

8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и Свойство медиан треугольника доказательство через векторы, а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до параллелограмма).

О т в е т: Свойство медиан треугольника доказательство через векторы.

1. Одна сторона треугольника равна а, другая – b. Найдите третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.

О т в е т: Свойство медиан треугольника доказательство через векторы.

2. Основание равнобедренного треугольника Свойство медиан треугольника доказательство через векторы, медиана боковой стороны 5. Найдите длины боковых сторон.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно Свойство медиан треугольника доказательство через векторы, а угол при основании равен 300. Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

4. Медианы треугольника равны 5, Свойство медиан треугольника доказательство через векторыи Свойство медиан треугольника доказательство через векторы. Докажите, что треугольник прямоугольный.

5. Числа Свойство медиан треугольника доказательство через векторы, Свойство медиан треугольника доказательство через векторыи Свойство медиан треугольника доказательство через векторывыражают длины медиан некоторого треугольника. Докажите, что если выполняется равенство Свойство медиан треугольника доказательство через векторы, то треугольник является прямоугольным.

Медиана, проведенная к гипотенузе

1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 см и делит прямой угол в отношении 2:1. Найдите меньший катет.

2. АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. Свойство медиан треугольника доказательство через векторы. Найдите Свойство медиан треугольника доказательство через векторы.

3. Медианы треугольника АВС АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Свойство медиан треугольника доказательство через векторы.Свойство медиан треугольника доказательство через векторысм. Свойство медиан треугольника доказательство через векторысм. Найдите ВО.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

О т в е т: 150; 750.

5. В трапеции ABCD углы при основании AD равны 200 и 700, длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

· , , Ленинградские математические кружки

· , Задачи по планиметрии, Издательство МЦНМО, 2001г

· интернет сайт http://zadachi. ***** Задачи по геометрии

· Всероссийская олимпиада по математике, 2008 год,

· Турнир им. Ломоносова, 2001 год

· Московская математическая регата, 2012/13 г, 8 класс

🎦 Видео

Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Урок 33. Свойство медиан треугольника (8 класс)Скачать

Урок 33.  Свойство медиан треугольника (8 класс)

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO черезСкачать

№787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выразите вектор DO через

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

Теорема о трёх медианахСкачать

Теорема о трёх медианах

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Поделиться или сохранить к себе: