Свойство координат векторов на плоскости

Координаты вектора в математике

Координаты вектора ― это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Содержание:

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Координаты вектора

Для введения понятия координат вектора следует рассмотреть возможность разложения вектора по осям координат. Мы хотим каждый вектор задать парой чисел — проекциями этого вектора на оси координат. При таком подходе действия над векторами можно свести к действиям с парами чисел.

Определим проекции вектора на координатную ось. Пусть задана координатная ось Ох. Единичный отрезок ОЕ теперь будем считать единичным вектором Свойство координат векторов на плоскости, т. е. вектором, длина которого равна 1 (рис. 2.506).

Свойство координат векторов на плоскостиСвойство координат векторов на плоскости

Возьмем любой вектор Свойство координат векторов на плоскостии отложим его от некоторой точки А: Свойство координат векторов на плоскости

Спроектируем точки А и В на ось Ох. Получим точки Свойство координат векторов на плоскостии составляющую Свойство координат векторов на плоскостивектора Свойство координат векторов на плоскостипо оси Ох (рис. 2.507). Ее длина со знаком «плюс» или «минус» и называют проекцией вектора Свойство координат векторов на плоскостина ось Ох.

Определение. Проекцией Свойство координат векторов на плоскостивектора Свойство координат векторов на плоскостина ось Ох называют длину его составляющей Свойство координат векторов на плоскостипо этой оси, взятую со знаком «плюс» или «минус». При этом берется знак «плюс», если направление вектора Свойство координат векторов на плоскостисовпадает с направлением оси Ох, и знак «минус», если эти направления противоположны. Если Свойство координат векторов на плоскости= 0, т. е. Свойство координат векторов на плоскости

Проекция точки — точка, проекция отрезка — отрезок (или точка), а проекция вектора — число.

Вектор Свойство координат векторов на плоскостиполучается из коллинеарного ему единичного вектора Свойство координат векторов на плоскостиумножением на Свойство координат векторов на плоскости. При этом если Свойство координат векторов на плоскостисонаправлен с Свойство координат векторов на плоскости, то Свойство координат векторов на плоскостиЕсли же Свойство координат векторов на плоскостипротивоположно направлен Свойство координат векторов на плоскости, то Свойство координат векторов на плоскости

Следовательно, имеет место равенство Свойство координат векторов на плоскости

Можно доказать следующие свойства проекций векторов на ось.

1. Равные векторы имеют равные проекции на заданную ось.

2. При сложении векторов их проекции на ось складываются.

3. При умножении вектора на число его проекция умножается на это число.

Прежде чем ввести понятие координат вектора, докажем теорему.

Теорема 6. Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат с единичными векторами Свойство координат векторов на плоскостикоординатных осей Ох и Оу. Пусть Свойство координат векторов на плоскости— некоторый вектор, а Свойство координат векторов на плоскости— его проекции на оси координат. Тогда вектор Свойство координат векторов на плоскостиединственным образом представляется в виде Свойство координат векторов на плоскости(рис. 2.508).

Свойство координат векторов на плоскости

Выше получена формула для разложения вектора а по векторам Свойство координат векторов на плоскости(с учетом обозначения): Свойство координат векторов на плоскости.

Пару чисел Свойство координат векторов на плоскостиназывают координатами вектора Свойство координат векторов на плоскости в данной системе координат.

Координаты вектора в пространстве определяются так же, как на плоскости. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами Свойство координат векторов на плоскостикоординатных осей Ох, Оу, Oz. Тогда вектор Свойство координат векторов на плоскостиединственным образом представляется в виде Свойство координат векторов на плоскости(рис. 2.509).

Числа Свойство координат векторов на плоскостиназываются координатами вектора Свойство координат векторов на плоскостиотносительно векторовСвойство координат векторов на плоскости, которые называются базисными векторами или, короче, базисом.

Введенные координаты вектора позволяют получить формулу длины вектора.

Рассмотрим рисунок 2.508.

1. Если точка А не лежит на координатных осях, то треугольник Свойство координат векторов на плоскостипрямоугольный.

2. Свойство координат векторов на плоскости(1, теорема Пифагора).

3. Так как Свойство координат векторов на плоскостито получаем, что Свойство координат векторов на плоскости Свойство координат векторов на плоскости(2).

4. Но Свойство координат векторов на плоскостипоэтому

Свойство координат векторов на плоскости(3, 4).

Формула справедлива и в тех случаях, когда точка А лежит на какой-то оси координат.

Свойства координат вектора

В курсе геометрии нам практически не приходится работать с векторами в координатах (это приходится делать в курсе физики). Можно доказать различные свойства координат вектора:

1. Координаты равных векторов соответственно равны. Обратно: векторы, имеющие соответственно равные координаты, равны.

2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. А именно, если Свойство координат векторов на плоскостиСвойство координат векторов на плоскостиСвойство координат векторов на плоскости

3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А именно, если Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Координаты вектора связаны с координатами точки по следующему правилу: чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

В частности, если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам его конца.

Свойство координат векторов на плоскости

Возьмем в пространстве некую прямоугольную систему координат с началом в точке О и координатными осями х, у, z (рис. 2.510). Пусть А, В, С — точки с единичными координатами на этих осях, т. е. А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

Тогда векторыСвойство координат векторов на плоскости Свойство координат векторов на плоскости— это направляющие единичные векторы координатных осей х, у, z.

Возьмем любую точку М(х, у, г), и пусть Свойство координат векторов на плоскости— ее радиус-вектор.

Теорема 8. Координаты точки М соответственно равны координатам ее радиус-вектора Свойство координат векторов на плоскостиотносительно базиса Свойство координат векторов на плоскости.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

Свойство координат векторов на плоскости

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Свойство координат векторов на плоскости

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Свойство координат векторов на плоскости

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойство координат векторов на плоскости

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

  1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
    Свойство координат векторов на плоскости
  2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
    Свойство координат векторов на плоскости
  3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
  4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
  5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
  6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
  7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
  8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
    Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
    Свойство координат векторов на плоскости

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Свойство координат векторов на плоскости

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Свойство координат векторов на плоскости

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Свойство координат векторов на плоскости
Свойство координат векторов на плоскости

Длина вектора Свойство координат векторов на плоскостив пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Свойство координат векторов на плоскости

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Свойство координат векторов на плоскости

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Свойство координат векторов на плоскости

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Свойство координат векторов на плоскостии Свойство координат векторов на плоскости.

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Произведение вектора на число:

Свойство координат векторов на плоскости

Скалярное произведение векторов:

Свойство координат векторов на плоскости

Косинус угла между векторами:

Свойство координат векторов на плоскости

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Свойство координат векторов на плоскости

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Свойство координат векторов на плоскостии Свойство координат векторов на плоскости. Для этого нужны их координаты.

Свойство координат векторов на плоскости

Запишем координаты векторов:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

и найдем косинус угла между векторами Свойство координат векторов на плоскостии Свойство координат векторов на плоскости:

Свойство координат векторов на плоскости

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Свойство координат векторов на плоскости

Координаты точек A, B и C найти легко:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Свойство координат векторов на плоскости

Координаты вершины пирамиды: Свойство координат векторов на плоскости

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Найдем координаты векторов Свойство координат векторов на плоскостии Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

и угол между ними:

Свойство координат векторов на плоскости

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Свойство координат векторов на плоскости

Запишем координаты точек:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Свойство координат векторов на плоскости

Найдем координаты векторов Свойство координат векторов на плоскостии Свойство координат векторов на плоскости, а затем угол между ними:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Координаты вектора. Векторы на координатной плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Координаты вектора. Векторы на координатной плоскости. Геометрия 8-9 класс

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Свойство координат векторов на плоскости

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Свойство координат векторов на плоскости

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Свойство координат векторов на плоскости

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Свойство координат векторов на плоскости

То есть A + C + D = 0.

Свойство координат векторов на плоскостиСвойство координат векторов на плоскости

Аналогично для точки K:

Свойство координат векторов на плоскости

Получили систему из трех уравнений:

Свойство координат векторов на плоскости

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Свойство координат векторов на плоскости

Решив систему, получим:

Свойство координат векторов на плоскости

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Свойство координат векторов на плоскости

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Свойство координат векторов на плоскости

Вектор Свойство координат векторов на плоскости— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Свойство координат векторов на плоскостиимеет вид:

Свойство координат векторов на плоскости

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Свойство координат векторов на плоскости

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Свойство координат векторов на плоскости

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Свойство координат векторов на плоскости

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Свойство координат векторов на плоскостиперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Свойство координат векторов на плоскости

Напишем уравнение плоскости AEF.

Свойство координат векторов на плоскости

Берем уравнение плоскости Свойство координат векторов на плоскостии по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Свойство координат векторов на плоскостиСвойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Свойство координат векторов на плоскости

Нормаль к плоскости AEF: Свойство координат векторов на плоскости

Найдем угол между плоскостями:

Свойство координат векторов на плоскости

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Свойство координат векторов на плоскости

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Свойство координат векторов на плоскостиили, еще проще, вектор Свойство координат векторов на плоскости.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Координаты вектора Свойство координат векторов на плоскости— тоже:

Свойство координат векторов на плоскости

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Свойство координат векторов на плоскости

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Свойство координат векторов на плоскости

Получим:
Свойство координат векторов на плоскости

Ответ: Свойство координат векторов на плоскости

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Свойство координат векторов на плоскости— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Свойство координат векторов на плоскости— нормаль к плоскости α.

Свойство координат векторов на плоскости

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Свойство координат векторов на плоскости

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Находим координаты вектора Свойство координат векторов на плоскости.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Свойство координат векторов на плоскости.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Свойство координат векторов на плоскости

Ответ: Свойство координат векторов на плоскости

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Свойство координат векторов на плоскости

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Свойство координат векторов на плоскости, AD = Свойство координат векторов на плоскости. Высота параллелепипеда AA1 = Свойство координат векторов на плоскости. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Свойство координат векторов на плоскости

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Свойство координат векторов на плоскостиСвойство координат векторов на плоскости

Решим эту систему. Выберем Свойство координат векторов на плоскости

Тогда Свойство координат векторов на плоскости

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Свойство координат векторов на плоскости

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Свойство координат векторов на плоскости

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🎦 Видео

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.

Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.Скачать

Линейная алгебра. Векторы и операции над векторами.

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

ВЕКТОРЫ на плоскости: координаты, длина, равенство вектора, определение коллинеарности векторовСкачать

ВЕКТОРЫ на плоскости: координаты, длина, равенство вектора, определение коллинеарности векторов

11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора
Поделиться или сохранить к себе: