Любые 3 вектора неколлинеарны

Содержание:

Вначале введем часто используемые в приложениях, понятия коллинеарности и компланарности векторов.

Определение 1.4.1. Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются колли­неарными. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются ком­планарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов.

Определение 1.4.2. Выражение вида —некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов

Если все числа равны нулю одновременно (что равносильно условию то такая линейная комбинация называется тривиальной.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля (то есть то данная линейная комбинация называется не­тривиальной.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Соглашение о суммировании

В тех случаях, когда явная запись суммы некоторого числа слагаемых нецелесообразна или невозможна, но известно, как зависит значение каждого из слагаемых от его номера, то допускается использование специальной формы записи операции суммирования:

(читается: «Сумма F(k) по «). где — индекс суммирования, мальное значение индекса суммирования, N — максимальное значение индекса сум­мирования и, наконец, F(k) — общий вид слагаемого.

Пример с решением 1.4.1.

По соглашению о суммировании будут справедливы следующие равенства Используя данную символику, линейную комбинацию можно записать в виде

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Приведем теперь определение важного понятия линейной зависимости системы векторов.

Определение 1.4.3. Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация такая, что Определение 1.4.4. Векторы называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальность линейной комбинации то есть, что Иначе говоря, векторы линейно независимы, если для любого набора чисел не равных нулю одновременно, линейная комбинация не равна

Справедливы следующие утверждения:

Теорема 1.4.1. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нуле­вой.

Теорема 1.4.2. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они кол­линеарны.

Теорема 1.4.3. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они ком­планарны.

Теоремы 1.4.1. и 1.4.2. предлагаются для самостоятельного доказательства. Здесь же мы рассмотрим подробно теорему 1.4.З., доказав предварительно следующее вспо­могательное утверждение:

Лемма 1.4.1. Для линейной зависимости векторов , необходимо и дос­таточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных. Доказательство:

Докажем необходимость. Пусть векторы линейно зависимы, тогда существуют числа одновременно не равные нулю, такие что Для определенности можно считать, что но тогда что и доказывает необходимость. Докажем достаточность. Пусть для определенности тогда причем То есть нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору.

Докажем теперь теорему 1.4.3.

Докажем необходимость. Пусть три вектора линейно зависимы, то есть существуют три, одно временно не равных нулю, числа , таких, что Тогда, по лемме 1.4.1. один из векторов есть линейная комбинация двух ос­тальных и, значит, данные три вектора компланарны. Докажем достаточность в предположении, что векторы неколлинеарны. Пусть даны три компланарных вектора Перенесем эти векторы таким образом, чтобы их начала попали в одну точку.

Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторам При этом получим пару векторов таких, что (Рис. 1.4.1.) Поскольку вектор коллинеарен вектору , а вектор коллинеарен вектору по теореме 1.4.2. получаем, что но, с другой стороны, имеем и векторы по лемме 1.4.1., линейно зависимы.

Случай коллинеарных рассмотрите самостоятельно.

Свойства линейно независимых векторов

• 1°. Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой.
• 2°. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.
• 3°. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

Теорема 1.4.4. Если среди векторов имеется подмножество линейно зависимых, то и все векторы линейно зависимы. Доказательство: Без ограничения общности можно считать, что линейно зависимы первые векторов (иначе, просто перенумеруем эти векторы), то есть существуют не равные нулю одновременно, числа такие, что Построим нетривиальную линейную комбинацию векторов взяв в качестве первых к коэффициентов числа и нули в качестве остальных. Тогда получим, что Теорема доказана.

Следствие 1.4.1. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то векторы линейно зависимы.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Видео:№760. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и у справедливоСкачать

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Видео:Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Урок 4. Геометрия 9 классСкачать

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Видео:Разложение вектора на неколлинеарные вектора.Скачать

Что из этого нужно запомнить

• С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
• Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
• Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
• Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.

Видео:10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < na_x ; na_y ; na_z >. Найдем их векторное произведение

Видео:№742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарныеСкачать

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Решим это уравнение:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

Вектора a и b коллинеарны т.к. 1 4 = 2 8 = 3 12

Вектора a и с не коллинеарны т.к. 1 5 = 2 10 ≠ 3 12

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 5 4 = 10 8 ≠ 12 12

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y . Если вектора колинеарны то

Найдем значение n a :

Так как b = n a , то вектора a и b коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

Из этого соотношения получим два уравнения:

Решим эти уравнения:

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

🎥 Видео

Коллинеарные векторы.Скачать

Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 классСкачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по трем векторамСкачать

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:Скачать

№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½yСкачать

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам - 1 часть. Геометрия 9Скачать

№754. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у , z и постройте векторы x+у, x+z, z+y.Скачать

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам | Геометрия 7-9 класс #85 | ИнфоурокСкачать