Сумма векторов в экселе

Видео:👍✅ Как посчитать сумму в excel✅ формула сумма в excel #shortsСкачать

6.1. Векторы

Векторы — это наборы чисел, расположенные горизонтально (вектор-строка) или вертикально (вектор-столбец).

• сложение — два вектора а и b с одинаковым числом компо­нент образуют новый вектор с:с_i= a_i+ b_i ;
• умножение на число — каждая компонента вектора умножает­ся на число, т.е. b = λа означает b_i= λа_i

здесь i — номер компоненты вектора.

Упражнение 6.1.1. Сложить два вектора:

1. Ввести в первую строку вектор Х — (А1:Е1)
2. Ввести во вторую строку вектор Y — (А2:Е2)
3. Найти сумму векторов –

• выделить блок ячеек для результата в третьей строке ( А3:Е3 );
• ввести в строке формул =А1:Е1+А2:Е2
• нажать Ctrl+Shift+Enter.

Иллюстрация к примеру — рис. 14.

1

Рис. 14. Иллюстрация к упражнению 6.1.1.

Задача 6.1.1 . Умножить вектор на число.

Умножение вектор-столбца на вектор-строку.

В блоке (вектор-столбце) А2:А5 записаны числа: 1,2,3,4. Требуется получить в блоке B2:D5 три вектор-столбца, каждый из которых представляет собой результат умножения исходного вектор-столбца на вектор-строку: 2, -3, 4 (B1:D1). Рис.15. К упр. 6.1.2.

1-й способ: за­писать в ячейку В2 формулу =$А2*В$1 и скопировать ее в ос­тальные ячейки диапазона B2:D5.

2 -й способ (более экономный): выделить блок B2:D5. За­пишем в него формулу массива .

Анализ решения. Табличный массив — вектор-строка, а блок А2:А5 — вектор-столбец. Значит, матрица B2:D5 размерностью 4Х3 является результатом умножения вектор-столбца А2:А5 (4Х1) на вектор-строку B1:D1 (1Х3).

Примечание. Если ввести формулу , то получится тот же результат, хотя с позиций матричной алгебры вектор-строку (1х3) нельзя умножать на вектор-столбец (4х1) из-за несогласованности размеров (число столбцов в первом сомно­жителе должно равняться числу строк во втором сомножителе).

У
пражнение 6.1.3. Вычислить скалярное произведение двух векторов.

1. Установить курсор в ячейку, где нужен результат.
2. Щёлкнуть кнопку автосуммы — .
3. Выделить массив Х (А5:А12).
4. Нажать знак умножить —*.
5. Выделить массив Y (B5:B12).
6. Нажать Ctrl + Shift + Enter.

Примечание. Тот же результат можно получить с помощью обычной функции: =СУММПРОИЗВ (А5:А12, В5:В12).

Видео:Сумма для строк и столбцов в excelСкачать

6.2. Матричные операции

Простейшие операции, которые можно проделывать с мат­рицами: сложение (вычитание), умножение на число, перемно­жение, транспонирование, вычисление обратной матрицы.

Упражнение 6.2.1. Сложение матриц.

Задание. Сло­жить матрицы М и N, где

Решение.
M= и N=

1-й способ:

• Ввести матрицу М в блок А1:С2, а матрицу N в блок Е1:G2.
• В блок А4:С5 ввести табличную формулу .

Примечание. Выделен блок, имеющий те же размеры, что и исходные матрицы.

Использование имен делает процедуру ввода табличной формулы намного проще:

• Задать диапазонам А1:С2 и E1:G2 имена М и N.
• В блок E4:G5 ввести табличную формулу .

Результат, естественно, тот же: M+N =

Упражнение 6.2.2 . Вычислить линейную комбинацию матриц 2*М — N (матрицы М.и N из упражнения 6.2.1.).

Решение. В блок А7:С8 ввести табличную формулу .

Результат: 2*M — N =

Задача 6.2.1. Осмысленные результаты (не имеющие ничего общего с матричной алгеброй) получаются при сложе­нии матриц разных размеров. Придумать примеры и попытаться выявить правила, по которым Excel выполняет такое сло­жение.

Для матричных операций в Excel предусмотрены функции, входящие в категорию «Математические»:

МОБР — вычисление обратной матрицы;

МУМНОЖ — перемножение матриц;

Примечание. Первая из этих функций возвращает число, поэтому вводит­ся как обычная формула. Остальные функции возвращают блок ячеек, поэтому они должны вводиться как табличные формулы.

Упражнение 6.2.3. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы:

Решение. Разместить исходную матрицу в блоке А1 :СЗ.

1. В ячейке Е2 поместить формулу для вычисления определи­теля = МОПРЕД (А1:СЗ).
2. В блок А5:С7 ввести формулу для вычисления обратной матрицы:

• выделить блок А5:С7 (он имеет три строки и три столбца, как и исходная матрица).
• Ввести формулу .

Примечания:

1. При использовании Мастера функций нужно завершать ввод нажатием комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter (вместо щелчка по кнопке «ОК»).
2. Для удобства работы рекомендуется задавать имена исходной матрице и обратной матрице.

1. Проверить правильность вычисления обратной матрицы ум­ножением ее на исходную:

• задать имена исходной матрице — А и обратной матрице — АО;
• в блок D5:F7 ввести формулу .
• как и следовало ожидать, получилась матрица, близкая к единичной.

Рис. 16. Иллюстрация к упражнению 6.2.3.

У
Решение:
пражнение 6.2.4. Вычислить абсолютные отклонения величин в матрицах.

В блок А9:С11 ввести табличную формулу <= abs (A-AО)>.

Пример вычисления определителя матрицы

А, введен­ной в формулу как массив констант: =МОПРЕД(<-73; 78; 24:

Задача 6.2.2 . При каком значении элемента а₃₃ определитель матрицы А обратится в нуль.

Задача 6.2.3. Дана матрица S = . Вычислить матрицу 2SS Т — Е, где Т — операция транспо­нирования,

Е — единичная матрица.

Задача 6.2.4. Вычислить обратную матрицу для

и применить форматирование, чтобы элементы матрицы пред­ставляли собой правильные дроби. Выбрать формат на основе величины определителя матрицы.

 Набор матричных операций в Excel беден.

Если нужно серьезно работать с матрицами, лучше прибегнуть к помощи таких математических пакетов, как MatLAB (Matrix LABoratory), Mathematica, Derive .

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Векторное произведение в EXCEL

history 19 декабря 2015 г.

Группы статей
• Векторы

Найдем векторное произведение 2-х векторов с помощью функций MS EXCEL. Также создадим таблицу для проверки векторов на коллинеарность.

Сначала немного теории. Векторным произведением двух векторов а и b , заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор c , что:

1. он перпендикулярен обоим векторам а и b ;
2. длина векторас равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними;
3. вектор с направлен так, что тройка векторов а , b и с является правой ( с конца вектора с кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки ).

Почему такое сложное определение? Дело в том, что результатом векторного произведения [ a х b ], в отличие от скалярного , является вектор. А для того, чтобы однозначно определить вектор нужно задать его длину (второй пункт определения) и направление (первый и третий пункты определения).

Векторное произведение двух векторов a = < a _x ; a _y ; a _z > и b = < b _x ; b _y ; b _z > в декартовой системе координат можно вычислить, используя формулы:

или в матричной форме:

Теперь вычислим векторное произведение в MS EXCEL. Встроенная функция к сожалению отсутствует. Кроме того, формула должна возвращать три значения, т.е. 3 координаты вектора. Это может быть реализовано только формулой массива (вариант, когда 3 координаты рассчитываются независимо, с использованием 3-х различных формул, очевиден, но не интересен, хотя и приведен файле примера ).

Пусть даны координаты векторов а и b , записанные в строках 8 и 9 (см. файл примера ).

Обратим внимание, что запись в матричной форме напоминает вычисление обратной матрицы методом алгебраических дополнений . Вместо единичных векторов i, j, k запишем вспомогательный вектор с координатами и поместим его в строке 7 над векторами. Теперь у нас есть квадратная матрица А третьего порядка, для которой можно вычислить обратную матрицу.

Попробуем использовать функцию МОБР() для вычисления векторного произведения. Заметим, что три слагаемых из определения векторного произведения в матричной форме совпадают со значениями верхней строки матрицы алгебраических дополнений.

Примечание : Напомним, что алгебраическое дополнение A _ij вычисляется по формуле A _ij =(-1) i+j *М _ij (где М — соответствующий минор, т.е. определитель, состоящий из элементов матрицы А за исключением всех элементов, расположенных на строке i и в столбце j).

Так как обратная матрица вычисляется по формуле:

то имея обратную матрицу, для вычисления верхней строки матрицы алгебраических дополнений и, соответственно, координат вектора с , необходимо ее транспонировать , а затем умножить ее на определитель матрицы А (той, что содержит координаты наших векторов а и b и единичный вектор).

Это реализовано с помощью формулы массива =ТРАНСП(МОБР(B7:D9))*МОПРЕД(B7:D9)

Видео:Excel:Как посчитать сумму чисел в столбце или строкеСкачать

Коллинеарность векторов

Если два вектора коллинеарны, т.е. лежат на параллельных прямых, то их векторное произведение равно 0. В файле примеров приведена таблица для проверки векторов на коллинеарность.

Видео:Как сложить числа в Excel Функция СУММСкачать

Нахождение длины вектора с — результата векторного произведения

Из определения векторного произведения длина вектора с равна произведению длин векторов а и b на синус угла между ними.

Примечание : Как вычислить длины векторов по их координатам показано в статье Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

Синус угла найдем через тригонометрическую формулe sin 2 x+cos 2 x=1

Конечно, можно также сначала найти векторное произведение, а затем длину полученного вектора. Естественно, оба метода расчета дают одинаковые результаты.

Видео:1 Функция СУММЕСЛИ в excel (SUMIF)Скачать

Векторы и матрицы в Excel

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Векторы и матрицы в Excel

C овокупность n чисел , заданных в определенном по­рядке, называется n -мерным вектором. Числа a _i – компонент s или координат s вектора, n —размерностью вектора.

Два n -мерных вектора и называются равными, если все их соответствующие компоненты равны: .

Суммой двух n -мерных векторов и называется n -мерный вектор

.

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности .

Вектор , все компоненты которого равны нулю, называется нуль-вектором. Нуль-вектор ведет себя при сложения векторов аналогично числу нуль в арифметике.

Вектор называется противоположным вектору . Очевидно,

Операция вычитания векторов определяется как сложение с противоположным вектором .

Под произведением вектора на число  понимают вектор .

Умножение вектора на число обладает свойством ассоциативности и свойством дистрибутивности относительно векторного и числового сомножителей .

Модуль (норма, длина) вектора .

Пример вычисления модуля вектора (2, 5, 3, -4) приведен на рисунке 1.

Р
исунок 1 – Вычисление длины вектора

Здесь применены функция = КОРЕНЬ ( число ), где аргументом функции может быть либо конкретное число, либо адрес ячейки, в которой оно записано, и функция = СУММКВ ( число1 ; число2 ;…), где аргументами функции являются адреса ячеек (адрес массива) с координатами вектора.

В общем случае скалярное произведение двух векторов , где — угол между векторами. Скалярным произведение двух n -мерных векторов и может быть определено как сумма произведений одноименных координат данных векторов:

.

Операция скалярного умножения векторов обладает следующими свойствами:

.

В Excel скалярное произведение векторов вычисляется с помощью функции = СУММПРОИЗВ ( массив1 ; массив2;… ), где массив1 ; массив2;…- от 2 до 30 массивов, чьи компонент нужно перемножить, а затем сложить полученные произведения. Все массивы должны иметь одну и то же размерность (пример на рисунке 2).

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рисунок 3).

Треугольник, стороны которого есть стороны параллелограмма и его диагонали имеет площадь, равную половине величины векторного произв
едения двух векторов.

Р
исунок 2 – Определение скалярного произведения двух векторов

Значение векторного произведения определяется следующим образом:

На рисунке 4 приведен пример вычисления векторного произведения векторов, площади параллелограмма, треугольника. Проверка правильности вычисления векторного произведения заключается в проверке соответствия нулю величины скалярных произведений векторов и

Р
исунок 4 – Вычисление векторного произведения векторов

Перейдем к рассмотрению основных операций матричного исчисления.

Числа, расположенные в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, образуют матрицу размера m х n :

Две матрицы A и B одного и того же размера m × n являются равными, если равны все их соответствующие элементы:

Матрица, состоящая из одного столбца (т. е. если n = 1) или из од- ной строки (т. е. если m = 1), называется вектором — столбцом или, соответственно, вектором — строкой.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевая матрица обозначается

При n = m матрица называется квадратной, а число ее строк (столбцов) – порядком матрицы. Элементы квадратной матрицы образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю:

Квадратная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а остальные — нулю:

Если в матрице А заменить строки столбцами, сохранив их порядок, то получится новая матрица

называемая транспонированной по отношению к матрице А.

Если А=А Т , то такая матрица называется симметричной.

В Excel для транспонирования матриц используется функция =ТРАНСП(массив) – рисунок 5.

Р
исунок 5 – Вызов функции ТРАНСП

Пример. Имеем исходную матрицу

.

Из определения ясно, что транспонированной будет матрица А Т :

.

Решение задачи в Excel представлено на рисунке 6

Рисунок 6 – Транспонирование матрицы

Порядок решения следующий:

— определить место для транспонированной матриц (в рассматриваемом примере это G2:I4);

— в ячейку размещения первого элемента транспонированной матрицы ввести формулу =ТРАНС(С2:E5);

— выделить массив ячеек, в которых будут размещаться все элементы транспонированной матрицы;

— нажать Shit + Ctrl + Enter .

Суммой матриц А и В одинакового размера является матрица С , элементы которой равны сумме соответствующих элементов суммируемых матриц:

Произведение матрицы на число  — то матрица, элементы которой получаются умножением всех элементов исходной матрицы на данное число:

Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя А равно числу строк второго сомножителя В . Под произведением матрицы размером m x k на матрицу размером k x n понимают матрицу размером m x n , элемент которой равен скалярному произведению i -й строки матрицы на j -й столбец матрицы :

В Excel для вычисления произведения матриц используется функция

= МУМНОЖ ( массив1 ; массив2 ), где массивы – совокупности элементов перемножаемых матриц (рисунок 7).

Р
исунок 7 – Умножение матриц

Формула для расчета произведения матриц должна быть введена как формула массива!

Пусть даны матрицы

Вычислим их произведение в Excel (рисунок 8).

— шаг1 – определение области размещения результата (на рисунке 8 выделена пункитом);

— шаг 2 – ввод в начальную ячейку результирующего массива формулы умножения матриц;

—
шаг 3 – выделить результирующий массив и нажать F2;

—
шаг 3 – нажать Shift+Ctrl+Enter.

Рисунок 8 – Вычисление произведения матриц

Действие умножения матрицы на матрицу обладает свойствами:

Отметим, что в общем случае

Если условие равенства произведения матриц при изменении их последовательности выполняется, то матрицы называются перестановочными между собой.

При умножении квадратной матрицы саму на себя получаем квадратную матрицу второй степени, при n -кратном умножении получим квадратную матрицу n -го порядка ( n -й степени).

Определитель (или детерминант) матрицы – одно из основных понятий линейной алгебры. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, – определитель равен нулю.

Для матрицы первого порядка значение определителя равно единственному элементу этой матрицы.

Для матрицы 2х2 определитель вычисляется как

Для матриц более высоких порядков n x n определитель можно вычислить, применив следующую рекурсивную формулу:

, где – дополнительный минор к элементу .

Возможно разложение как по строкам, так и по столбцам.

В
Excel определитель вычисляется с помощью функции = МОПРЕД ( массив ), где массив есть совокупность элементов матрицы (рисунок 9).

Рисунок 9 – Расчет определителя матрицы

Квадратная матрица называется неособенной ( невырожденной ), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной ( вырожденной ) или сингулярной .

Детерминант треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов

Обратной матрицей к матрице называют такую матрицу, для которой
А А -1 = E

Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

, где – определитель матрицы, – транспонированная матрица.

Н
а рисунке 10 приведен пример определения обратной матрицы с помощью функции Excel = МОБР ( массив ).

Рисунок 10 – Расчет обратной матрицы

Заметим, что функция применяется к массиву как в ранее приведенных примерах.

Проверим выполнение условия А А -1 = E (рисунок 11)

Р
исунок 11- Произведение матрицы на обратную матрицу

Собственным числом квадратной матрицы

называется такое число , которое обращает определитель матрицы в 0: .

Или, по-другому, собственными числами матрицы А являются корни уравнения и только они.

Матрица называется характеристической матрицей матрицы А , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Для вычисления собственных чисел существуют классические приемы, сводящиеся к решению полиномиальных уравнений. Собственные числа определяют системы компьютерной математики. Найдем все собственные числа произвольной квадратной матрицы с помощью Excel на примере квадратной матрицы размерностью 3х3:

Необходимо найти такие значения  , при котором

Оформим лист Excel следующим образом (рисунок 12):

Рисунок 12 – Вычисление собственного числа матрицы

В ячейку B2 введено =2-F2; в ячейку С3 — =-6-F2; в ячейку D4 — =1-F2.

Из рисунка 12 видно, что при  =0 определитель также равен 0, т.е.  =0 есть первое собственное число матрицы.

Д

ля определения других собственных числе воспользуемся поиском (Меню Сервис-Поск решения …) – рисунок 13, установив целевую ячейку $E$2, в которой вычисляется значение определителя матрицы. Требуемое значение определителя – 0. Поиск осуществляется путем подбора значения  , отображаемом в ячейке $F$2.

Рисунок 13 – Вычисление собственного числа матрицы

О щелчку на кнопке Выполнить, появляется окно Результат поиска решения (рисунок 14).

Рисунок 14 – Результат поиска решения

Выбираем Сохранить найденное решение и Тип отчета – Результаты . Щелкаем на Ок. Получаем ожидаемый результат  =0.

П
овторим выполненные действия, введя в окне Поиск решения ограничение $F$2>=1 (рисунок 15):

Рисунок 15 – Ввод ограничения

В результате поиска получаем второе значение собственного числа:  =3.

Повторим поиск при ограничении.

Если установить в ограничениях  >=4, то поиск не находит решения. Ищем отрицательное собственное число и устанавливаем в ограничениях 

П
ри добавлении в систему ограничений Е1>=-10 (рисунок 16) поиск нашел третье собственное число, равное -6 (рисунок 17)

Р
исунок 16 – Поиск собственного числа при двухстороннем ограничении

Рисунок 17 — Результат поиска третьего собственного числа

Собственным вектором соответствующим собственному числу λ называют такой вектор , который удовлетворяет матричному равенству:

Найдем собственный вектор матрицы

Данная матрица имеет собственные числа: λ1 = 0 λ2 = 3 λ3 = -6.

1. Заносим содержимое ячеек матрицы в ячейки таблицы (B2:D4).

2. В ячейку (B6) вводим λ для которого необходимо найти собственный вектор. Пусть λ = 3.

3. В ячейки (F2:F4) поместим любые числа: F2 = 1; F3 = 1; F4 = 1.

4. В ячейки (G2:G4) заносим произведение матрицы (ячейки В2:В4) на вектор (ячейки F2:F4).

5. В ячейки (H2:H4) заносим умножение столбца на собственное число λ находящийся в ячейки (B6).

6. В ячейки (I2:I4) заносим разность столбцов (F2:F4) и (H2:H4).

7. В главном меню открываем Сервис — Поиск решения . Вводим следующие данные: Целевая ячейка $I$2, Равной значению (0); Изменяя ячейки $F$2:$F$4; Ограничения $I$3=0; $I$4=0.

Нажать кнопку « Выполнить ».

В
ячейках (F2:F4) появятся числа, эти это и есть собственный вектор для данного собственного числа (рисунок 18).

Рисунок 18 – Определение собственного вектора матрицы

Последовательно выполнить операции п.п. 2, 3, 7 при остальных значениях собственных чисел матрицы.

Задания для самостоятельной работы

Повторить решение всех примеров, приведенных в Лекции №5.

Сформировать случайным образом два вектора, состоящих из 5 элементов. Элементы векторов должны быть в диапазоне -5…+15

Определить длину векторов.

Вычислить сумму и разность векторов.

Определить скалярное произведение этих векторов.

Определить угол между векторами.

Определить векторное произведение двух векторов.

Проверить правильность вычисления векторного произведения путем определения скалярного произведения каждого из исходных векторов с результатом вычисления векторного произведения.

Сформировать случайным образом матрицу размером 4х4 и матрицу 4х3. Элементы матрицы должны быть в диапазоне -10…+20.

Получить транспонированные матрицы исходных матриц.

Проверить правильность решения путем умножения исходной матрицы на транспонированную.

Определить произведение исходных матриц.

Найти матрицу 3-го порядка для исходной квадратной матрицы.

Определить детерминант исходной квадратной матрицы.

🎬 Видео

Простой подсчет количества символов в ячейках Excel. #ТрюкиExcelСкачать

Сводные таблицы Excel с нуля до профи за полчаса + Дэшборды! | 1-ое Видео курса "Сводные Таблицы"Скачать

8 инструментов в Excel, которыми каждый должен уметь пользоватьсяСкачать

Сложение и вычитание в Excel. Как сложить и вычесть в Excel? формула excelСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

Обучение EXCEL. УРОК 14: ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ И ФУНКЦИИСкачать

как ... написать сумму прописью без макросов в ExcelСкачать

🔥Суммирование всех значений из одной ячейки!Скачать

Трюк Excel 4. Автосумма в ExcelСкачать

Обучение EXCEL. УРОК 18: ФУНКЦИЯ СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT)Скачать

Вычисление суммы, количества и среднего по цвету заливки и шрифта в ExcelСкачать

Как создать нарастающий итог в таблице ExcelСкачать