Теорема: Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к какой-либо стороне, равна 180°, то такой четырехугольник является трапецией.
Доказательство:
Пусть в четырехугольнике OPQR сумма углов О и Р, прилежащих к стороне ОР, равна 180° (рисунок). Эти углы являются внутренними односторонними при прямых OR и PQ, пересеченных прямой ОР. Используя соответствующий признак параллельных прямых, утверждаем, что стороны OR и PQ параллельны. Теперь по определению трапеции заключаем, что четырехугольник OPQR — трапеция.
Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников
В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.
Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:
Схема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.
Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.
1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: 
3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.
4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:
В равнобедренной трапеции
- углы при основании равны,
- проекции боковых сторон на основание равны:
.
.5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: 
В параллелограмме:
- противоположные стороны и противоположные углы равны
- диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:
Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
или произведению сторон на синус угла между ними:
:
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:
- противоположные углы равны
- диагонали точкой пересечения делятся пополам
- диагонали взаимно перпендикулярны
- диагонали ромба являются биссектрисами углов
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:
.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны
Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:
- все углы равны 90 градусов
- диагонали точкой пересечения делятся пополам
- диагонали взаимно перпендикулярны
- диагонали являются биссектрисами углов
- диагонали равны
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Сумма углов четырехугольника
Свойства
- Сумма углов четырехугольника равна 360°.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. - Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
и этот четырехугольник является квадратом.
∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
ABCD — квадрат. - Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
если около четырехугольника описана окружность.
∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
Такие четырехугольники называют вписанными.
Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.