Определение 1. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются продолжениями друг друга.
 |
На Рис.1 углы AOB и BOC смежные, так как сторона OB общая для этих углов, а стороны OA и OC являются продолжениями друг друга. Поскольку угол AOC является развернутым углом, то сумма смежных углов равна 180°:
 . | (1) |
Свойства смежных углов
1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежгых углов равны, но имеют противоположный знак.
Справедливость пунктов 2 и 3 очевидны и следуют из (1).
Доказательство пункта 4. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн)
 . |
То есть синусы смежных углов равны.
Доказательство пункта 5. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но
 , |
 , |
 . |
То есть косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.
51. Планиметрия 
Читать 0 мин.
Читать 0 мин.51.65. Углы и параллельные прямые
Взаимное расположение прямых:
- Прямые пересекаются, у них есть одна общая точка.
- Прямые не пересекаются, у них нет общих точек. Такие прямые называются параллельными.
При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы.
Вертикальные углы — равны.
Сумма смежных углов равна 180°.
Параллельные прямые
Прямые называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжать.
О параллельных прямых:
- Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все прямые параллельны между собой.
- На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие углы:
- внутренние накрест лежащие (4 и 5, 3 и 6) — попарно равны;
- внешние накрест лежащие (1 и 8, 2 и 7) — попарно равны;
- соответственные (1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8) — попарно равны;
- внутренние односторонние (3 и 5, 4 и 6) — сумма таких углов равна 180°;
- внешние односторонние (1 и 7, 2 и 8) — сумма таких углов равна 180°.
Часто для использования свойств углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, необходимо применять дополнительные построения.
Пример: Даны углы с попарно параллельными сторонами. Что можно сказать об углах 1 и 2? Что можно сказать об углах 3 и 4?
Продолжим стороны углов до пересечения:
Получаем, что углы 1 и 2 равны, т. к. являются накрест лежащими при параллельных прямых.
Сумма углов 3 и 4 равна 180°, т. к. они являются односторонними при параллельных прямых.
Теорема Фалеса: При пересечении сторон угла параллельными прямыми стороны угла делятся на пропорциональные отрезки (образуются подобные треугольники).
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,