Установить скрещиваются пересекаются или параллельны прямые

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Признак скрещивающихся прямых

Угол между скрещивающимися прямыми

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Две пересекающиеся прямые		Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямые		Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещивающиеся прямые		Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

Две пересекающиеся прямые

Две прямые называют пересекающимися прямыми , если они имеют единственную общую точку.

Две параллельные прямые

Две прямые называют параллельными прямыми , если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Две скрещивающиеся прямые

Две прямые называют скрещивающимися прямыми , если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

С перечисленными в предыдущей таблице случаями взаимного расположения двух прямых в пространстве близко связаны утверждения, представленные в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Тип утверждения и формулировка
Две различные точки		Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.
Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой		Аксиома о параллельных прямых Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.
Две пересекающиеся прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Две параллельные прямые		Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две различные точки

Аксиома о прямой линии, заданной двумя точками
Через две различные точки проходит одна и только одна прямая линия.

Прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой

Аксиома о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на прямой,проходит одна и только одна прямая, параллельная этой прямой.

Две пересекающиеся прямые

Теорема о плоскости, определяемой двумя пересекающимися прямыми
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Две параллельные прямые

Теорема о плоскости, определяемой двумя параллельными прямыми
Через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых . Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются (рис.1).

Доказательство . Напомним, что две прямые называют скрещивающимися, если не существует плоскости, содержащей обе эти прямые, и будем доказывать признак скрещивающихся прямых методом «От противного».

Для этого предположим, что прямая a , пересекающая плоскость в точке K , и прямая b , лежащая в плоскости α (рис. 1), не являются скрещивающимися. Из этого предположения следует, что существует плоскость, содержащая обе эти прямые. Обозначим эту плоскость буквой β и докажем, что плоскость β совпадает с плоскостью α . Действительно, поскольку обе плоскости α и β проходят через прямую b и точку K , не лежащую на этой прямой, то они совпадают. Следовательно, прямая a лежит в плоскости прямая a лежит в плоскости . Мы получили противоречие с тем, что по условию прямая a пересекает плоскость прямая a пересекает плоскость , а не лежит в ней. Доказательство признака скрещивающихся прямых завершено.

Угол между скрещивающимися прямыми

На рисунке 2 изображены скрещивающиеся прямые a и b . Прямая a’ параллельна прямой a , прямая b’ параллельна прямой b. Прямые a’ и b’ пересекаются. Угол φ и является углом между скрещивающимися прямыми a и b .

Для того, чтобы найти угол между прямыми AB₁ и BC₁ , проведем в кубе диагональ боковой грани AD₁ и диагональ верхнего основания D₁B₁ (рис. 4).

Замечание . Для более глубокого усвоения понятия «Скрещивающиеся прямые» рекомендуем ознакомиться с разделами нашего сайта «Свойства скрещивающихся прямых» и «Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Признак параллельности прямой и плоскости».

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Содержание:

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Если рассматривать две прямые на плоскости, то они либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке. Те прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называют параллельными. А те, которые пересекаются, имеют особое название только в одном случае — если пересекаются под прямым углом. Такие прямые называются перпендикулярными.

Существуют ли в пространстве прямые, которые пересекаются и которые не пересекаются? Ответ на этот вопрос дают образы окружающего мира. Имеют ли такие прямые свое название и как их различать — вы узнаете из этого параграфа.
По аксиоме стереометрии, если две прямые пересекаются, то через них можно провести единственную плоскость. Это означает, что любые две пересекающиеся прямые определяют плоскость, а плоскости, в свою очередь, — пространство.

Итак, в пространстве прямые, расположенные в одной плоскости, могут пересекаться или быть параллельными. По аксиоме параллельных прямых, через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной. По следствию из аксиомы стереометрии, через прямую и точку вне ее можно провести единственную плоскость. Поэтому выходит, что две параллельные прямые задают плоскость.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две произвольные прямые

Рассмотрим модель куба, изготовленного из «проволочных отрезков», лежащих на соответствующих прямых (рис. 3.1). Среди прямых, на которых лежат ребра куба, есть такие, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости ( и , и , и и т.д.), т.е. являются параллельными, однако есть и такие, которые не пересекаются и не являются параллельными ( и и и и т.д.). Такие прямые называются скрещивающимися.

Две прямые пространства, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Понятно, что две скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости. Поэтому говорят, что две прямые скрещиваются, если их нельзя поместить в одну плоскость. Для определения скрещивающихся прямых используют символ . Например (читается: «прямые и — скрещивающиеся», или «прямая скрещивается с прямой »). Особым случаем расположения прямых является их наложение — прямые совпадают.

Итак, расположение двух прямых в пространстве может быть следующим:

1. прямые пересекаются, если они имеют только одну общую точку;
2. прямые параллельны, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости;
3. прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны;
4. прямые совпадают, если они имеют хотя бы две общие точки.

Рассмотрим свойства, которыми обладают параллельные прямые в пространстве.

Теорема 1

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть произвольная прямая пространства, — точка, не принадлежащая ей (рис. 3.2). Через прямую и точку можно провести плоскость. Пусть это будет плоскость . На плоскости лежит прямая и точка вне ее. Через эту точку можно провести прямую, параллельную данной. Пусть прямая и . Докажем, что прямая единственная. Допустим, что существует другая прямая , которая не совпадает с прямой , параллельна прямой и проходит через точку . Поскольку , то по определению они лежат в одной плоскости, например .

Итак, и имеют общую прямую и точку , а поэтому совпадают. В плоскости через точку проходят две прямые и , параллельные прямой , что противоречит аксиоме параллельности. Получили противоречие, которое доказывает единственность прямой , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак параллельности прямых)

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Пусть прямые и параллельны прямой с (рис. 3.3). Докажем, что прямые и параллельны. Случай, когда прямые , , с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Это свойство еще называют признаком параллельности прямых. Поэтому будем считать, что эти прямые не лежат в одной плоскости, и докажем, что такой признак имеет место и в пространстве.
По условию , и поэтому эти прямые лежат в одной плоскости, пусть это будет плоскость . Аналогично, поэтому эти прямые будут лежать в некоторой другой плоскости — плоскости . Выберем на прямой точку . Через прямую и точку проведем плоскость , которая пересечет плоскость по некоторой прямой ( и имеют общую точку ). Поскольку через точку в плоскости уже проходит прямая , то , т.е. пересекает в некоторой точке , а значит и . Однако поэтому .
Т.е. точка принадлежит трем плоскостям и . Но все точки, общие для плоскостей и , лежат на прямой . Поэтому прямая а проходит через точку , что противоречит условию . Итак, не пересекает прямую , т.е. параллельна . Однако в плоскости через точку проходит только одна прямая, параллельная прямой .

Поэтому прямые и совпадают. Поскольку прямая не пересекает плоскость , то прямая не пересекает прямую и принадлежит плоскости. Итак, , т.е. , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Свойство скрещивающихся прямых выражает признак: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (предлагаем доказать это самостоятельно).

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая является подмножеством точек плоскости. Она состоит из множества точек. Такие рассуждения приводят к тому, что прямая и плоскость могут иметь множество общих точек, одну или ни одной общей точки. Случаи, когда прямая принадлежит плоскости и когда прямая пересекает плоскость, нам известны (рис. 3.9). Другие случаи расположения прямой и плоскости рассмотрим в следующих параграфах.

Теорема 3

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость.

Пусть даны параллельные прямые и , прямая пересекает плоскость в точке (рис. 3.10). Докажем, что вторая прямая также пересекает плоскость , т.е. имеет с ней общую точку, и притом только одну.

Обозначим плоскость, которой принадлежат параллельные прямые и . Поскольку различные плоскости и имеют общую точку , то, по аксиоме стереометрии, они имеют некоторую общую прямую . Одна из параллельных прямых плоскости пересекает прямую . Поэтому ее пересекает вторая, параллельная ей, прямая . Точка является точкой пересечения прямых и — общей точкой прямой и плоскости .

Допустим, что прямая имеет с плоскостью какую-либо другую общую точку. Тогда, по следствию из аксиом стереометрии, принадлежит . Поскольку прямая принадлежит и плоскости , то она совпадает с прямой , которая является линией пересечения плоскостей и . Из этого вытекает, что прямая одновременно пересекает и прямую и параллельна ей. Получили противоречие, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Пример №1

Отрезок пересекает плоскость в точке . Через его концы и точку , которая делит отрезок в отношении , считая от точки , проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках . Найдите длину отрезка , если известно, .

Поскольку прямые параллельны и пересекают прямую , то они лежат в одной плоскости (рис. 3.11). Точки лежат на одной прямой — прямой пересечения плоскости с плоскостью .
Проведем в плоскости через точку прямую , где — точка пересечения этой прямой с прямой , а — с прямой . Поскольку четырехугольники и — параллелограммы, то . Обозначим длину этих отрезков через .

Тогда (взаимное расположение точек , может быть различным: рис. 3.11, а и рис. 3.11, б).

Из подобия треугольников имеем: .

Итак, , отсюда или .
Ответ. 4 см или 32 см.

Отметим, что прямая пересекает плоскость, когда у нее с плоскостью одна общая точка.

Параллельность прямой и плоскости

Рассмотренные в параграфах 3.1 и 3.2 случаи не исчерпывают всех возможных вариантов расположения прямой относительно плоскости. Рассмотрим случай, когда у прямой с плоскостью нет ни одной общей точки. В таком случае говорят, что прямая параллельна плоскости.

Прямая называется параллельной плоскости, если не имеет с ней ни одной общей точки.

Параллельность прямой и плоскости обозначают символом . Например (рис. 3.16). Проверить параллельность прямой и плоскости можно, пользуясь признаком.

Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Пусть — плоскость, — прямая, которая ей не принадлежит, — прямая, принадлежащая , и . Если (рис. 3.17), то они лежат в одной плоскости . Тогда — прямая, все точки которой общие для плоскостей и . Пусть прямая пересекает плоскость , тогда эта точка пересечения является общей точкой для плоскостей и , т.е. принадлежит прямой . Это означает, что прямые и пересекаются. Получили противоречие условию. Итак, прямая не может иметь с плоскостью а общих точек, поэтому параллельна ей, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Отрезок называется параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, которая параллельна плоскости. Например, и помещении, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, стыки стен с потолком параллельны полу, и наоборот -стыки стен с полом параллельны потолку и т.д. Аналогично можно рассматривать такое расположение на модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.18):

Следствие 1. Если прямая параллельна плоскости, то через каждую точку этой плоскости на ней можно провести пря мую, параллельную данной прямой.
Например, на плоскости находится множество прямых, которым параллельна прямая (рис. 3.19).

Следствие 2. Существует множество прямых, параллель пых одной и той же плоскости.

Например, вне плоскости находится множество параллельных ей прямых, которые могут принадлежать или не принадлежать одной плоскости (рис. 3.20).

Следствие 3. Если прямая параллельна каждой из пересекаю щихся плоскостей, то она параллельна и прямой их пересечения.

Например, на рисунке 3.21 изображены , и . Вывод: .

Итак, через точку вне плоскости можно провести:

• — множество прямых, параллельных плоскости ,
• — одну прямую , параллельную прямой плоскости ,
• — множество прямых, скрещивающихся с прямой плоскости

Пример №2

Докажите, что все прямые, пересекающие одну из двух скрещивающихся прямых и параллельные другой, лежат в одной плоскости.

Дано: прямые — скрещивающиеся.

Доказать, что все прямые, пересекающие и параллельные , лежат в одной плоскости.

Проведем несколько произвольных прямых , пересекающих одну из двух скрещивающихся, например , и параллельных прямой (рис. 3.22). Поскольку и , то , т.е. принадлежат некоторой плоскости. Назовем ее . Отсюда следует, что прямые . Аналогично рассуждая, получаем, что прямые , также принадлежат плоскости . Итак, все прямые , принадлежат плоскости .

Почему именно так?

Скрещивающиеся прямые и не пересекаются и не параллельны. Нужно выбрать одну из них, с которой будем выполнять пересечение, например . Тогда на прямой выбираем некую точку, через которую проводим прямую, параллельную прямой (по аксиоме). Пусть это прямая . Это определяет единственную плоскость, допустим . На прямой выбираем еще одну точку, через которую проводим прямую , причем . Приходим к выводу: и х, то , а это означает, что . Такие рассуждения можно провести для любой прямой, пересекающей прямую и параллельной прямой .

Пример №3

Плоскость пересекает стороны и треугольника соответственно в точках и , (рис. 3.23). Найдите длину стороны треугольника , если и .

Дано:,

Найти: .

— прямая пересечения и . , поэтому , (по углам).

, тогда .

Почему именно так?

Плоскость треугольника пересекается с плоскостью в двух точках и через которые проходит единственная прямая — прямая пересечения плоскостей. , поэтому . Однако через и проходит единственная плоскость . Итак, . Далее используем обобщенную теорему Фалеса (о пропорциональных отрезках) или подобие треугольников.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Параллельные плоскости

Если рассматривать две плоскости в пространстве, то их расположение зависит от наличия общих точек.

1. Если у двух плоскостей имеется одна общая точка, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку (аксиома расположения) (рис. 4.1, а). При наличии двух общих точек ситуация не изменится: через произвольные две точки можно провести только одну прямую, которая будет общей для этих двух плоскостей, т.е. они пересекаются по этой прямой.
Итак, если две плоскости имеют одну или много общих точек, лежащих на одной прямой, то эти плоскости пересекаются.

2. Как известно, через три произвольные точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну (следствие из аксиом стереометрии). Тогда очевидно, что если две плоскости будут иметь три и больше общих точек, не лежащих на одной прямой, то они будут накладываться (рис. 4.1, б). В таком случае говорят, что плоскости совпадают.

Отсюда вытекает, что плоскости совпадают, если они имеют:

• а) общую прямую и точку, не принадлежащую ей;
• б) две общие прямые, которые пересекаются;
• в) хотя бы три общие точки, не лежащие на одной прямой.

3. Если две различные плоскости не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными (рис. 4.1, в). Для обозначения параллельности плоскостей используют символ . Записывают (читают: «плоскость параллельна плоскости », или «плоскости и параллельны»).

Итак, плоскости в пространстве могут: пересекаться, совпадать или быть параллельными.

Модели параллельных плоскостей встречаются довольно часто: полки в шкафу, двойные стекла в оконной раме, пол и потолок, перекрытия в многоэтажном доме, ровно сложенные в упаковках диски, учебники и т.д. Выяснить, параллельны ли плоскости, позволяет признак параллельности плоскостей.

Теорема 1

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пусть и — данные плоскости (рис. 4.2), и — две прямые, лежащие на плоскости и пере секающиеся в точке . Прямые и лежат на плоскости и соответственно параллельны прямым и . Докажем, что плоскости и параллельны, методом от противного.

Допустим, что и пересекаются по некоторой прямой . По теореме о параллельности прямой и плоскости, прямые и , параллельные прямым и параллельны плоскости . Итак, и не пересекают плоскость , а значит не пересекают и прямую , принадлежащую . Таким образом, на плоскости через точку проходят две прямые и , параллельные , что невозможно по аксиоме параллельности. Получили противоречие. Итак, предположение неверно, плоскости и пересекаться не могут, поэтому и параллельны, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 2

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть — заданная плоскость, — точка, не принадлежащая ей. Проведем в плоскости две произвольные прямые и , пересекающиеся в точке (рис.4.3.), а через точку — две прямые и , параллельные им . Плоскость , которая проходит через прямые и , параллельна плоскости . Итак, плоскость построена. Докажем, что она единственная, т.е. не зависит от выбора прямых и .

Допустим, что существует другая плоскость , которая проходит через точку и параллельна плоскости . Далее выполним еще два дополнительных построения:

1. Построим плоскость , которая содержит параллельные прямые и . Поскольку плоскость имеет с общую точку , то пересекает по некоторой прямой , проходящей через эту точку. Но поскольку , то , это противоречит аксиоме параллельности. Итак, прямые и совпадают.

2. Построим плоскость , которая содержит параллельные прямые и . Она пересечет плоскость по некоторой прямой . Рассуждая аналогично, докажем, что совпадает с .

Итак, имеем, что через две пересекающиеся прямые и проходят две различные плоскости и , однако это противоречит аксиоме принадлежности. Предположение о существовании двух различных плоскостей, параллельных данной, которые бы проходили через одну и ту же точку, неверно. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Пример №4

Точка не принадлежит плоскости треугольника . На отрезках , и выбраны точки , , соответственно, так что . Докажите, что плоскости и параллельны.
Дано: .
Доказать: .

По условию задачи: , поэтому и (по обобщенной теореме Фалеса).
, поэтому — единственная плоскость; -единственная плоскость.
Итак, по признаку параллельности плоскостей, имеем, что , ч.т.д.

Почему именно так?

По обобщенной теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поэтому, учитывая условие задачи, получаем параллельность трех пар соответствующих прямых: и , и , и .

Точками определяется одна плоскость, а -другая, которые, по признаку параллельности плоскостей, параллельны, ч.т.д.

Пример №5

Даны две параллельные плоскости и . Точка не лежит ни в одной из них. Найдите геометрическое место прямых, которые проходят через точку и параллельны двум плоскостям и .

Пусть плоскости и параллельны. Точка не лежит ни в плоскости , ни в плоскости . Возьмем в плоскости произвольную точку , через которую проведем две прямые и .
Через точку проведем соответственно две прямые и , параллельные и , а значит, и плоскости .

Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, пусть это будет плоскость . Тогда , по признаку параллельности плоскостей.
Аналогично доказывается, что .

Через точку , не лежащую ни в одной из двух плоскостей, можно провести много прямых, параллельных плоскостям и , которые будут лежать в одной плоскости, параллельной данным плоскостям.
Ответ. Плоскость.

Почему именно так?

Точка не принадлежит двум данным плоскостям и . Ее расположение в пространстве произвольно: или между плоскостями, или вне плоскостей. На решение задачи это не влияет. Через точку вне плоскости можно всегда провести много прямых, параллельных данной плоскости. Каждая прямая, параллельная одной из двух параллельных плоскостей, будет параллельной и другой плоскости. Поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость, то все параллельные данным плоскостям прямые, которые проходят через заданную точку , принадлежат одной и той же плоскости. Геометрическим местом таких прямых является плоскость.

Свойства параллельных плоскостей

Параллельные плоскости имеют определенные свойства. Рассмотрим их.

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые их пересечения параллельны.

Пусть — секущая плоскость для плоскостей и , (рис. 4.9), имеем две прямые и ; они могут не пересекаться или пересекаться только в одной точке как прямые одной плоскости . , причем . и не пересекаются и лежат в одной плоскости , тогда они параллельны, , ч.т.д.

Свойство 2. Параллельные плоскости, пересекая две параллельные прямые, отсекают на них равные отрезки.

Пусть и — данные параллельные прямые, и — параллельные плоскости, пересекающие их соответственно в точках (рис. 4.10).

Поскольку прямые и параллельны, то они лежат в одной плоскости . Плоскость пересекает плоскость по прямой , а плоскость — по прямой , которые по свойству 1 параллельны. Поэтому — параллелограмм. Таким образом, ч.т.д.

Свойство 2 иногда формулируется так: отрезки параллельных прямых, находящиеся между двумя параллельными плоскостями, равны.

Свойство 3. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой.

Пусть ,. Допустим, что плоскости и не параллельны. Тогда плоскости и имеют общую точку. Через эту точку проходит две плоскости и , параллельные плоскости . Однако через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, поэтому мы пришли к противоречию. Итак, , ч.т.д.

Пример №6

Докажите, что плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую плоскость.

Дано: .
Доказать: плоскость у пересекается с плоскостью .

Докажем, что плоскость пересекается с плоскостью , методом от противного (рис. 4.9). Пусть и не пересекаются, тогда . По условию задачи, и , тогда и . Т.е. существует такая точка на прямой , через которую проведены две разные плоскости, параллельные плоскости . Это противоречит теореме о существовании плоскости, параллельной данной. Итак, , т.е. плоскость пересекается с плоскостью , ч.т.д.

Почему именно так?

Для доказательства требования задачи важно выбрать метод доказательства: прямой или от противного. В общих случаях чаще используют метод от противного. Сделав предположение, противоположное требованию задачи, мы приходим к выводу: . Отсюда, по транзитивности, , что противоречит условию задачи. Полученное противоречие доказывает требование задачи.

Итак, плоскость, пересекающая одну из двух параллель ных плоскостей, пересекает и другую.

Пример №7

Докажите, что прямая, которая пересекает одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую.
Дано:
Доказать: прямая пересекает плоскость .

Построим произвольную плоскость (рис. 4.11), которая проходит через прямую . — общая точка прямой и плоскости , а значит и плоскости . Поэтому , . Тогда, по задаче 1, , где — прямая пересечения и . Получили, что . Прямая , принадлежащая , пересекает прямую в точке , следовательно, и прямую , т.е. плоскость .
Можно было бы доказать требование задачи методом от противного: предположив, что прямая не пересекает плоскость . Тогда, если и не пересекается с , то , что противоречит условию задачи. Итак, прямая пересекает плоскость , что и требовалось доказать.
Итак, любая прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

Пример №8

Две параллельные плоскости и пересекают сторону угла в точках и , а сторону — соответственно в точках и . Найдите длину отрезка , если , (рис. 4.12).

Дано: плоскости и
Найти:

Пусть , плоскость пересекает стороны угла в точках и , а плоскость — в точках и . По условию . Учитывая, что , имеем: подобен . Итак,
Ответ. 36 см.

Почему именно так?

Через точки проведем плоскость , пересекающую две параллельные плоскости и по параллельным прямым и . Тогда полученные треугольники и подобны и их соответствующие стороны пропорциональны. Находим неизвестный член пропорции и получаем решение задачи.

Параллельное проецирование. Изображение плоских и пространственных фигур на плоскости

Чтобы изобразить пространственные фигуры на плоскости, прибегают к разным методам. Один из них — параллельное проецирование.
Параллельное проецирование — это метод изображения произвольной геометрической фигуры на плоскости, при котором все точки фигуры переносятся на плоскость по прямым, параллельным заданной, называющейся направлением проецирования.

Модели параллельного проецирования можно сравнить с тенью на плоской поверхности стены или земли при солнечном освещении. Итак, чтобы выполнить параллельное проецирование, сначала задают фигуру и плоскость, на которую проецируют, — плоскость проекции. Далее задают прямой направление проецирования — проецирующую прямую. Она должна пересекать плоскость проекции.

Пусть заданы произвольная плоскость , проецирующая прямая и точка , не принадлежащая ни прямой , ни плоскости (рис. 4.22, а).
Проведем через точку параллельно прямую , которая пересекает плоскость в точке (рис. 4.22, б). Найденная таким образом точка называется параллельной проекцией точки на плоскость . Т.е. мы выполнили параллельное проецирование точки на плоскость .

Каждая геометрическая фигура состоит из точек. Поэтому, проецируя последовательно точки фигуры на плоскость, получаем изображение, которое называют проекцией этой фигуры, и способ выполнения изображения — параллельным проецированием.

Отметим, что если точка принадлежит проецирующей прямой, ее проекцией будет точка пересечения прямой с плоскостью (точка на рис. 4.22), а если точка принадлежит плоскости проекции, то ее проекция совпадает с точкой плоскости.

Рассмотрим параллельное проецирование для изображения геометрических фигур на плоскость. Пусть произвольная геометрическая фигура, которую нужно спроецировать на плоскость . Возьмем произвольную прямую , пересекающую плоскость , и проведем через вершины фигуры (точки ) прямые, параллельные . Точки — точки пересечения этих прямых с плоскостью проекции — будут проекцией вершин фигуры. Понятно, что отрезки перейдут в отрезки плоскости проекции , все точки фигуры перейдут в точки плоскости проекции, образовав изображение фигуры (рис. 4.23).

Для параллельного проецирования важно знать его направление. От него зависит общий вид изображения проекции. Например, проекцией отрезка, параллельного проецирующей прямой, будет точка (рис. 4.24, а), а проекцией отрезка, не параллельного проецирующей прямой, — отрезок (рис. 4.24, б).
Итак, параллельное проецирование имеет свои свойства для прямых и отрезков, не параллельных направлению проецирования:

1. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка — отрезок.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются (рис. 4.24, б), т.е. равны соотношению длин своих проекций, в частности середина отрезка проецируется в середину его проекции.

Отметим, что длины проекций отрезков, параллельных плоскости проекций, сохраняются, т.е. равны длинам самих отрезков. Отсюда вытекает, что плоская фигура, плоскость которой параллельна плоскости проекции, проецируется в равную себе фигуру.

Приведем некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из вышеописанного построения.
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка отрезками (рис. 4.24, б).

Действительно, все прямые, которые проецируют точки отрезка , лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость по прямой . Произвольная точка отрезка изображается точкой отрезка .

Отметим, что рассмотренные выше отрезки, которые проецируются, не параллельны направлению проецирования.

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка параллельными отрезками (рис. 4.25).

Пусть и — параллельные отрезки некоторой фигуры. Их проекции — отрезки и параллельны, поскольку их получили в результате пересечения параллельных плоскостей с плоскостью (первая из этих плоскостей проходит через прямые и , а вторая — через прямые и . Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то плоскости параллельны).

Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при параллельном проецировании.

Покажем, например, что (рис. 4.26).

Прямые и лежат в одной плоскости . Проведем в ней через точку прямую , параллельную . Треугольники и подобны. Из подобия треугольников и равенств вытекает пропорция:.

Пример №9

Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?

При параллельном проецировании сохраняются соотношения отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проецируется в середину проекции этой стороны. Отсюда вытекает, что проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
• Ортогональное проецирование
• Декартовы координаты на плоскости
• Декартовы координаты в пространстве
• Параллелограмм
• Теорема синусов и теорема косинусов
• Параллельность прямых и плоскостей
• Перпендикулярность прямой и плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

• Содержание
• 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
• 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
• 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
• 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

,

(1)

,

(2)

Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂ (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

,

(3)

(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

p1(x−x1)=m1(y−y1)

l1(y−y1)=p1(z−z1)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p1x−m1y=p1x1−m1y1,

(5)

l1y−p1z=l1y1−p1z1.

(6)

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

,

(7)

(8)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

p2(x−x2)=m2(y−y2)

l2(y−y2)=p2(z−z2)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p2x−m2y=p2x2−m2y2,

(9)

l2y−p2z=l2y2−p2z2.

(10)

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

(11)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L₁ и L₂ не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L₁ и L₂ совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L₁ и L₂ .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ в параметрическом виде:

(12)

(13)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L₁ и L₂ можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L₁ и L₂ к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

(14)

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

(15)

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L₂ к каноническому виду:

(16)

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L₁ и L₂ решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

(17)

(18)

(19)

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂:

(20)

(21)

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

(22)

(23)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

(26)

(27)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

(30)

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a₃₃. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямых L₁ и L₂ имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L₁ и L₂:

(31)

(32)

Приведем параметрическое уравнение прямой L₁ к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

(33)

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

(34)

(35)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

(36)

.

(37)

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

(38)

(39)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

(42)

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a_{1 1}. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a₂₂. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa₃₃. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

(43)

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L₁ и L₂ не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L₁ имеет направляющий вектор q₁=, а прямая L₂ имеет направляющий вектор q₂=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ скрещиваются .

🎬 Видео