Сложение векторов в разные стороны

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Видео:ТОПОВЫЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВСкачать

Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач

Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.

Видео:Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Общие сведения

Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.

Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.

Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.

Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.

Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:

• коллинеарными — отрезки лежат на одной линии или ей параллельны;
• соноправленными — замкнутые линии направление которых одинаковое;
• противоположными — вектора направлены в разные стороны;
• ортогональными — перпендикулярными друг другу;
• компланарными — лежащими на одной плоскости или ей параллельные;
• равными — ограниченными прямыми, совпадающими как по направлению, так и по величине.

Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.

Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.

Видео:сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Сложение координат

Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).

Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).

Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:

Приведённые свойства соответственно называют переместительным, сочетательным, нулевым законом. Например, предположим есть два направленных отрезка a (2; 2) и b (-4; 1). Согласно первому свойству, очерёдность значения не имеет, поэтому что при прибавлении b к a, что при a к b результат будет одинаковый: a + b = (2 -4; 2 + 1) = (-2; 3), b + a = (-4 + 2; 1 +2) = (-2; 3). По аналогии можно проверить правильность утверждения и двух оставшихся свойств.

Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.

Видео:10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

Правило параллелограмма

По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.

Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.

Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.

Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.

Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.

Видео:РАЗБИРАЕМ ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ II 😊#shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

Альтернативные методы

Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.

Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.

При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:

• от выбранной точки пространства рисуется вектор, равняющийся первому слагаемому;
• от конечной точки откладывается вектор, совпадающий со вторым слагаемым;
• приведённая последовательность потеряется необходимое число раз;
• прямой линией соединяется точка, с которой началось построение с конечной последнего вектора;
• длина полученного отрезка и будет являться результатом сложения.

Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.

Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.

Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.

Видео:Сложение векторов методом треугольникаСкачать

Как складывать векторы

Сложив два вектора, в результате получим новый вектор.
Векторы могут располагаться один относительно другого:

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Складываем параллельные векторы

Если векторы параллельны, складывать так:

• А) К концу первого вектора приложить начало второго вектора
• Б) из начала первого вектора к концу второго вектора провести новый вектор

Примечание:

В этом уравнении над буквами используются значки векторов. Эти значки указывают на то, что действия выполняются с помощью геометрии. То есть, учитывается направление векторов.

Важно! Любое выражение, записанное в векторном виде, учитывает направление векторов.

Это можно пояснить так:

• сложив два числа 3 и 4 получим только одно решение (3 + 4 = 7).
• складывая два вектора с длинами 3 и 4, можно в результате получить вектор, длина которого лежит в диапазоне от «1» до «7».

1. Если векторы, которые складываем, были направлены в противоположные стороны, получим вектор, длина которого равняется единице.
2. А если векторы были сонаправленными – то длина результирующего вектора будет равна семи.
3. Ну а, если векторы были препендикулярными, то конечный вектор будет иметь длину, равную пяти.

Если векторы направлены в противоположные стороны, то результат сложения будет сонаправлен с более длинным вектором.

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

Складываем не параллельные векторы

Если векторы не параллельны (см. рис. ), для их сложения пользуются одним из двух правил:

1. правило треугольника;
2. правило параллелограмма;

Примечание:

Правило параллелограмма удобно применять к векторам, выходящим из одной общей точки (начала векторов совмещены).

Правило треугольника

К концу первого вектора приложить начало второго вектора

Из свободного начала к свободному концу провести вектор

Правило параллелограмма

Совместить начала векторов

Провести пунктиры, чтобы получить параллелограмм

Из точки, в которой находятся начала провести диагональ

Видео:Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Как вычитать векторы

Вычтем один вектор из второго вектора. В результате получим новый вектор.

Вектор «( -vec )» — это вектор «( vec )», развернутый в противоположную сторону.

Вычитание заменяют сложением. Складывают вектор с противоположно направленным вектором.

Видео:Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Складываем и вычитаем векторы, используя их координаты

Когда известны координаты двух векторов, сложение или вычитание провести достаточно легко. Для этого нужно сложить или вычесть соответствующие координаты векторов.

Для удобства обычно выписывают один вектор под другим.

Видео:Сложение векторов, свойства сложения векторов.Скачать

Примеры сложения векторов в физике

Напоминание:
Складывать и вычитать можно только те векторы, которые имеют одинаковую размерность. То есть, длина которых измеряется в одинаковых единицах.

Рассмотрим формулу связи между начальной и конечной скоростями при равноускоренном движении
( vec = vec<v_> + vec cdot t )

Примечания:
— Скорость всегда направлена в ту сторону, в которую тело движется (в направлении движения тела).
— Ускорение направлено в сторону действия силы (из второго закона Ньютона).

Обратите внимание: Направление силы не всегда будет совпадать с направлением, в котором тело двигалось изначально.

Силу можно направить в любую сторону. Она будет толкать или тянуть тело в ту сторону, в которую она направлена. Поэтому, конечная скорость ( vec ), начальная скорость ( vec<v_> ) и ускорение ( vec ) могут иметь различные направления.

Векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.
Поэтому, формула ( vec = vec<v_> + vec cdot t ) записана в векторном виде.

🔥 Видео

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Сложение и вычитание векторовСкачать

Векторные величины Сложение векторовСкачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

Сложение и вычитание векторовСкачать