В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Пусть это параллелограмм ABCD, а точки касания со сторонами AB, BC, CD, DA обозначены за E, F, G, H соответственно.
а) Из описанности ABCD следует, что AB + CD = AD + BC, то есть 2AB = 2AD, значит, все стороны параллелограмма равны и это ромб.
б) Будем считать, что AE = 3, EB = 5. Центром окружности будет точка пересечения диагоналей ромба O, а радиус этой окружности — высота прямоугольного треугольника Тогда по теореме Пифагора находим Значит,
Поскольку точки E и F делят стороны AB и BC в одинаковом отношении 3 : 5, треугольники BEF и BAC подобны с коэффициентом и Рассматривая аналогично остальные стороны EFGH, получаем, что это параллелограмм и даже прямоугольник (так как ). Значит, его площадь равна:
Ответ:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получен обоснованный ответ в пункте б имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имеется верное доказательство утверждения пункта а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать В параллелограмм вписана окружностьЕсли в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то что сразу можно сказать об этом параллелограмме? Для этого надо вспомнить, когда в четырехугольник можно вписать окружность. Это можно сделать лишь в том случае, если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны. Это условие выполняется только для тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба). Следовательно, если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, сразу можно сделать вывод, что все его стороны равны, и для него справедливы все свойства ромба. Если же дополнительно сказано, что хотя бы один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат. Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле где S — площадь ромба, p — его полупериметр; или как половину высоты ромба 1) В параллелограмм вписана окружность. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 10 см. Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат). У ромба все стороны равны. 2) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если высота параллелограмма равна 12 см. Из параллелограммов вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Радиус вписанной в ромб (и квадрат) окружности равен половине его высоты: 3) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см. Из всех параллелограммов окружность можно вписать в ромб (и квадрат. У квадрата диагонали равны, следовательно, в задаче речь идёт о ромбе). Пусть ABCD — ромб, AC=6 см, BD=8 см. Рассмотрим треугольник AOB. По теореме Пифагора полупериметр — p=2a=2∙AB=25=10 см. Следовательно, радиус вписанной окружности равен Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать Окружность вписана в параллелограмм теоремаВидео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать Please wait.Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать We are checking your browser. mathvox.ruВидео:ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 классСкачать Why do I have to complete a CAPTCHA?Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property. Видео:Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать What can I do to prevent this in the future?If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware. If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices. Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store. Cloudflare Ray ID: 6cf6d5a6ee840c42 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare Видео:3.27.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать Вписанная окружность
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность, Во все вышеперечисленные фигуры Окружность невозможно вписать в прямоугольник Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан Свойства вписанной окружностиВ треугольник
[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ] p — полупериметр четырехугольника. окружность и любая из сторон треугольника. перпендикуляры к любой точке касания. треугольника на 3 пары равных отрезков. Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера: с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника. В четырехугольник
[ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ] p — полупериметр четырехугольника. равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин. Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника: Примеры описанного треугольника: Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол
Центр окружности, которая вписана в угол, К центру окружности вписанной в угол, можно провести, Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности Видео:Параллелограмм. Свойства. Периметр.Скачать Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Видео:Геометрия. Параллелограмм. Часть 3. Площадь и периметр.Скачать Вписанные четырёхугольники и их свойстваОпределение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником . Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° . Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° . Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным. Теорема 1 доказана. Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2). Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним. Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично. Теорема 2 доказана. Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Произвольный вписанный четырёхугольник | Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, Видео:Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромбаСкачать Теорема ПтолемеяТеорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон. Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3). Докажем, что справедливо равенство: Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4). Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: откуда вытекает равенство:
Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция: 📸 ВидеоНеявный радиус. Геометрия 9 класс. Вписанная окружность.Скачать Геометрия Задача ЕГЭ 2019 про параллелограмм и вписанную окружностьСкачать Окружность Параллелограмм РомбСкачать РЕАЛЬНО СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА ИЗ ОГЭ! Геометрия, задачи повышенной сложности. Часть 4Скачать Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограммеСкачать Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать |