Сложение трех и более векторов

В этой статье мы рассмотрим операции, которые можно производить с векторами на плоскости и в пространстве. Далее мы перечислим свойства операций над векторами и обоснуем их с помощью геометрических простроений. Также покажем применение свойств операций над векторами при упрощении выражений, содержащих векторы.

Для более качественного усвоения материала рекомендуем освежить в памяти понятия, данные в статье векторы — основные определения.

Навигация по странице.

Видео:10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

Операция сложения двух векторов — правило треугольника.

Покажем как происходит сложение двух векторов.

Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и вектор представляет собой сумму векторов и . Такой способ сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу треугольника.

А на чертеже ниже показано сложение сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение нескольких векторов — правило многоугольника.

Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий вектор, к получившемуся прибавляется четвертый и так далее.

Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный первому слагаемому, от его конца откладывается вектор, равный второму слагаемому, от его конца откладывается третье слагаемое, и так далее. Пусть точка B — это конец последнего отложенного вектора. Суммой всех этих векторов будет вектор .

Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом многоугольника. Приведем иллюстрацию правила многоугольника.

Абсолютно аналогично производится сложение нескольких векторов в пространстве.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Операция умножения вектора на число.

Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.

Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его длину и сохранить направление, а при умножении вектора на минус одну треть следует уменьшить его длину втрое и изменить направление на противоположное. Приведем для наглядности иллюстрацию этого случая.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

1. Свойство коммутативности .
2. Свойство ассоциативности сложения .
3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.
4. Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.
5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.
6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.
7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.

Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.

Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .

Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.

Разберем на примере.

Упростите выражение, содержащее векторы .

Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим .

В силу сочетательного свойства умножения имеем .

Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые , а по первому распределительному свойству имеем .

А теперь запишем кратко: .

.

Видео:Урок 10. Действия над проекциями вектораСкачать

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Видео:Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и — b → .

Видео:Сложение двух сил, направленных по одной прямой | Физика 7 класс #22 | ИнфоурокСкачать

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
— если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
— если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k = 1 , то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = — 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Видео:сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
   
2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор — a → и верным является равенство: a → + ( — a → ) = 0 → . Указанное свойство — очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → — 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → )
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → — 2 · b → — 2 · ( 3 · a → ) = a → — 2 · b → — ( 2 · 3 ) · a → = a → — 2 · b → — 6 · a →
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → — 2 · b → — 6 · a → = a → — 6 · a → — 2 · b →
— затем по первому распределительному свойству получаем: a → — 6 · a → — 2 · b → = ( 1 — 6 ) · a → — 2 · b → = — 5 · a → — 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → — 2 · b → — 2 · 3 · a → = 5 · a → — 2 · b →
Ответ: a → — 2 · ( b → + 3 · a → ) = — 5 · a → — 2 · b →

Видео:Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Операции над векторами с примерами решения и образцами выполнения

Под операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

1). Сложение векторов

Пусть и — два произвольных вектора.

Сумму векторов можно найти по следующим правилам:

Выберем произвольную точку и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (рис. 5.5).

• Правило параллелограмма

Выберем произвольную точку и отложим от нее векторы и . Достроим фигуру до параллелограмма. Тогда вектор , исходящий из вершины в противоположную вершину , является суммой векторов и : (рис. 5.6.).

• Правило многоугольника:

Для нахождения суммы трех и более векторов используют правило многоугольника. Выберем произвольную точку и построим вектор . От конца первого вектора откладываем второй вектор, от конца второго — третий и т.д. Суммой нескольких векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Например, на рисунке 5.7. построена сумма трех векторов:

2). Вычитание векторов.

Под разностью векторов и понимается вектор , равный сумме вектора и вектора, противоположного вектору : (рис. 5.8.).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью (рис. 5.9.).

3). Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор (или ), который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если .

Например, если дан вектор , то векторы и будут иметь вид (рис. 5.10):

Линейные операции над векторами обладает следующими свойствами:

1. — свойство коммутативности,
2. — свойство ассоциативности,
3. 
4. 
5. 
6. .

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

Операции над векторами

Величины, значения которых могут быть выражены действительными числами, называются скалярами.

Вектором называется величина, определяемая числовым значением и направлением в пространстве (рис. 1.1).

Обозначается вектор различными способами: и т.д.

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Единичным вектором называется вектор, длина которого
равна единице.

Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен
нулю, а направление не определено.

Два вектора называются равными, если равны их модули и
совпадают направления.

Свободные векторы получаются из данного вектора путем
параллельного переноса.

Скользящие векторы получаются из данного вектора путем
переноса вдоль прямой, на которой лежит вектор .

Связанные векторы — это векторы, которые нельзя переносить,
например, по физическим причинам.

Видео:Все типы 2 задание векторы ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Умножение вектора на скаляр

Если — действительное число и — вектор, то произведение
также является вектором с длиной и направлением, совпадающим с направлением вектора при и противоположным при При произведение является нулевым вектором. На рис. 1.2 показаны векторы, полученные умножением вектора на -1 и 2.

Сложение векторов

Сумма двух векторов и является третьим вектором,
получающимся при параллельном переносе вектора так, что его
начало совпадает с концом вектора , начало суммарного вектора
совпадает с началом вектора , а конец суммарного вектора
совпадает с концом вектора (правило треугольника). На рис. 1.3
приведен пример сложения двух векторов.

Сумма нескольких векторов является некоторым
вектором который замыкает ломаную, состоящую из (рис. 1.4).

Разность векторов представленная на рис. 1.5 рассматривается как сумма векторов и

1. — переместительный закон.

2. — сочетательный закон.

3. — сочетательный закон.

4. — первый распределительный закон.

5. — второй распределительный закон.

6.

Линейная комбинация векторов

Линейной комбинацией векторов с действительными
коэффициентами называют вектор

Коллинеарными называют два вектора и , линейная
комбинация которых с некоторыми действительными числами и принимает вид причем и не равны одновременно нулю. Геометрический смысл: векторы и параллельны одной прямой.

Компланарными называют три вектора и линейная
комбинация которых с некоторыми действительными числами и принимает вид причем и не равны
одновременно нулю. Геометрический смысл: векторы и
параллельны одной плоскости.

Линейно независимыми векторами на плоскости называются два
вектора, если они не коллинеарные, а в трехмерном пространстве —
три вектора, если они не компланарные.

Два или три ортогональных (перпендикулярных) вектора являются линейно независимыми и образуют двойку или тройку
линейно независимых векторов.

Если три единичных взаимно перпендикулярных вектора
и образуют правую тройку векторов, то эти векторы
являются базой прямоугольной декартовой системы координат
(рис. 1.6).

Такие векторы называются ортами координат.

Система координат называется правой потому, что векторы
и имеют такую же ориентацию, как соответственно
большой, указательный и средний пальцы правой руки. Для
определения правого направления системы координат может быть
использовано правило правого винта: если винт вкручивается в ось Oz со стороны нуля, то отвертка вращается от х к у.

Вектор в прямоугольной декартовой системе координат
записывается в виде

где и —- прямоугольные декартовы координаты вектора
или проекции этого вектора на соответствующие оси.

Координаты точки

Дана прямоугольная декартова система координат (рис. 1.7). В этой системе координат каждой точке М однозначно соответствует вектор который называется радиусом-вектором точки
М. Декартовы координаты вектора отнесенные к и ,
называются декартовыми координатами точки М.

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Умножение векторов

Скалярное произведение векторов и , обозначаемое есть скаляр где — угол между векторами и .

Пример:

Определить скалярное произведение векторов и
при и

Решение:

Пример:

Определить скалярное произведение между каждой
из орт и прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Таким образом, скалярное произведение между каждой из орт и прямоугольной декартовой системы
координат равно нулю. ►

Пример:

Определить скалярное произведение любой из орт
и между собой прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Для примера рассмотрим орту Для остальных орт
результат аналогичен. ►

Векторное произведение векторов и обозначаемое есть вектор имеющий длину (площадь параллелограмма, построенного на и как на сторонах) и направленный перпендикулярно к и , причем так, что векторы образуют правую тройку
векторов (рис. 1.8).

Пример:

Определить векторное произведение между каждой
из орт и прямоугольной декартовой системы координат.

Решение:

Для примера рассмотрим векторное произведение
между векторами и Для остальных сочетаний орт результат
аналогичен, ►

Произведения векторов обладают следующими свойствами:

1. —коммутативность;

— антикоммутативность.

2. —ассоциативность.

3. — дистрибутивность.

4. если и ортогональные; если и
коллинеарные.

5.

6.В общем случае

Смешанное произведение — это скаляр, равный объему
параллелепипеда, построенного на векторах и как на ребрах.

Пример:

Упростить выражения

Решение:

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Выражения произведений векторов в прямоугольной декартовой системе координат

Пусть даны векторы:

Используя правила умножения векторов, можно показать
справедливость следующих формул:

■ для скалярного произведения

■ для векторного произведения

■ для смешанного произведения

Для векторного и смешанного произведений результаты
представлены в виде определителей.

Определителем (детерминантом) n-го порядка называется число D,
образованное из чисел (элементов), расположенных в квадратной таблице из n строк и n столбцов следующим образом:

При вычислении определителя n-го порядка его можно
разложить на сумму произведений всех элементов какой-либо
строки (или столбца), умноженных на соответствующие им
алгебраические дополнения, по формуле

где — элемент i-й строки (столбца) j-го столбца (строки);

— минор порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки (столбца) и j-го столбца (строки);

— алгебраическое дополнение.

Таким образом, определитель n-го порядка сводится к определителю (n-1)-го порядка, затем к определителю (n-2)-го порядка и т.д.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Пример:

Найти скалярное и векторное произведения векторов:

Решение:

Скалярное произведение векторов

Векторное произведение векторов находим по формуле

Разложим данный определитель по первой строке и найдем
векторное произведение:

Пример:

Найти смешанное произведение векторов:

Решение:

Смешанное произведение находим по формуле

Разложим данный определитель по первой строке и найдем
векторное произведение:

В n-мерной системе координат вектор может быть представлен в виде

где — проекции вектора на первую координатную
ось, вторую и т.д.;

— орты первой координатной оси, второй и т.д.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

💥 Видео

Физика | Ликбез по векторамСкачать

Сложение и вычитание векторов через координаты. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№3 - Вычитание векторов)Скачать

Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать