- Nav view search
- Navigation
- Search
- Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
- Тригонометрическая форма комплексного числа:
- Показательная форма комплексного числа:
- Тригонометрическая форма комплексного числа
- Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую
- Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи
- Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи
- Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах
- 💥 Видео
Видео:Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательнуюСкачать
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Комплексные числа
- Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Тригонометрическая форма комплексного числа:
Для всякого комплексного числа $z=x+iy$ справедливо равенство $$z=|z|(cosvarphi+isinvarphi).qquadqquadqquad (1)$$ Здесь $|z|=sqrt,$ a $varphi$ удовлетворяет условиям: $$cosvarphi=frac<sqrt>,qquad sinvarphi=frac<sqrt>,qquad varphiin[0, 2pi).$$
Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа $z.$
Примеры:
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.435. $-i$
Решение.
Пусть $z=x+iy=-i,$ то есть $x=0,,, y=-1.$ Тогда $$|z|=sqrt=sqrt 1=1.$$
$$cosvarphi=frac=0,qquad sinvarphi=frac=-1Rightarrow varphi=frac.$$
Ответ : $cosfrac+isinfrac.$
1.438. $frac.$
Решение.
Запишем число $z=frac$ в алгебраической форме:
Тригонометрическая форма числа $-i$ найдена в предыдущемпримере (1.435):
Ответ : $cosfrac+isinfrac.$
1.441. $1+cosfrac+isinfrac.$
Решение.
Таким образом, $varphi=frac.$
Отсюда находим показательную форму комплексного числа $z=x+iy=1+cosfrac+isin:$
Ответ: $2cosfracleft(cosfrac+isinfracright).$
Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать
Показательная форма комплексного числа:
Символом $e^$ обозначается комплексное число $cosvarphi+isinvarphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(cosvarphi+isinvarphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^.$$
Примеры.
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.475. $frac.$
Решение.
Приведем число $z=frac$ к алгебраическому виду:
$$tgvarphi=frac=frac<frac><frac>=frac.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $varphi=arctgfrac.$
1.479. $sinalpha-icosalpha.$
Решение.
Кроме этого должны выполняться ус ловия
1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z_1z_2;$ $frac,$ если $z_1=2sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3sqrt 3i.$
Решение.
Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:
Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $varphi_1=arctg<-frac>=-frac.$
Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $varphi_2=arctg=-frac.$
Далее находим $z_1z_2$ и $frac:$
Ответ: $-24, frac.$
Домашнее зад ание.
Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1.436. $1-isqrt 3.$
Ответ: $2left(cosfrac+isinfracright).$
Ответ: $cosfrac+isinfrac.$
1.440. $sinfrac+icosfrac.$
Ответ: $cosfrac+isinfrac.$
Представить в показательной форме следующие комплексные числа:
1.476. $5-12i.$
1.477. $-3-4i.$
1.479.$sinalpha-icosalpha.$
1.480. $sinalpha+i(1-cosalpha).$
1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
$z^2_1overline z_2;$ $frac,$ если $z_1=-sqrt 3+isqrt 2,$ $z_2=sqrt 8-sqrt 8.$
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:
z=a+ib. | (1) |
Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.
Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).
На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:
. |
. | (2) |
Подставляя (2) в (1), получим:
. | (3) |
Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:
. |
(4) |
r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.
Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1. также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.
Видео:Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа: Действия и Бонус | Высшая математикаСкачать
Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую
Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).
Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).
Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. .
Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.
Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. , где φ=arccos(4/5).
Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи
z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] |
z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] | (5) |
В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или
|z1z2|=|z1||z2|, | (6) |
т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей .
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2), | (7) |
т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей .
Пример 4. Умножить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (5):
Ответ. .
Видео:Как перевести комплексные числа из алгебраической в показательную форму и обратно .Скачать
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи
(8) |
Отсюда следует, что или
(9) |
Далее , или
(10) |
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого .
Пример 5. Делить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (8):
Ответ. .
Видео:Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. ПрактикаСкачать
Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах
Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .
Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.
Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).
Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.
Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.
Используя формулу Эйлера
комплексное число можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).
Функция e i φ – периодическая с основным периодом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .
Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.
Решение. Для z 1 имеем . Поэтому .
Для действительного числа . Поэтому
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 – z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
4. Частным двух комплексных чисел z 1 и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть , если .
Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .
Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .
Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .
Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:
Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib
В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
💥 Видео
Комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формеСкачать
Показательная форма комплексного числаСкачать
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числаСкачать
3. Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Тригонометрична форма комплексного числаСкачать
Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической формеСкачать
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная запись комплексного числаСкачать
Решение, записать комплексное число z=−3+√3i в тригонометрической и показательной форме пример 10Скачать
Видеоурок "Тригонометрическая форма комплексного числа"Скачать