Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Математический портал

Видео:Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательнуюСкачать

Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательную
  • Вы здесь:
  • HomeСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах
  • Комплексные числаСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах
  • Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Для всякого комплексного числа $z=x+iy$ справедливо равенство $$z=|z|(cosvarphi+isinvarphi).qquadqquadqquad (1)$$ Здесь $|z|=sqrt,$ a $varphi$ удовлетворяет условиям: $$cosvarphi=frac<sqrt>,qquad sinvarphi=frac<sqrt>,qquad varphiin[0, 2pi).$$

Равенство (1) называют тригонометрической формой комплексного числа $z.$

Примеры:

Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

1.435. $-i$

Решение.

Пусть $z=x+iy=-i,$ то есть $x=0,,, y=-1.$ Тогда $$|z|=sqrt=sqrt 1=1.$$

$$cosvarphi=frac=0,qquad sinvarphi=frac=-1Rightarrow varphi=frac.$$

Ответ : $cosfrac+isinfrac.$

1.438. $frac.$

Решение.

Запишем число $z=frac$ в алгебраической форме:

Тригонометрическая форма числа $-i$ найдена в предыдущемпримере (1.435):

Ответ : $cosfrac+isinfrac.$

1.441. $1+cosfrac+isinfrac.$

Решение.

Таким образом, $varphi=frac.$

Отсюда находим показательную форму комплексного числа $z=x+iy=1+cosfrac+isin:$

Ответ: $2cosfracleft(cosfrac+isinfracright).$

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Показательная форма комплексного числа:

Символом $e^$ обозначается комплексное число $cosvarphi+isinvarphi.$ С помощью этого обозначения всякое комплексное число $z=|z|(cosvarphi+isinvarphi)$ может быть представлено в показательной форме $$z=|z|e^.$$

Примеры.

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

1.475. $frac.$

Решение.

Приведем число $z=frac$ к алгебраическому виду:

$$tgvarphi=frac=frac<frac><frac>=frac.$$ Поскольку число $z$ принадлежит первой четверти, то $varphi=arctgfrac.$

1.479. $sinalpha-icosalpha.$

Решение.

Кроме этого должны выполняться ус ловия

1.482 (а). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

$z_1z_2;$ $frac,$ если $z_1=2sqrt 3-2i,$ $z_2=3-3sqrt 3i.$

Решение.

Запишем числа $z_1$ и $z_2$ в показательной форме:

Поскольку число $z_1$ принадлежит четвертой четверти, то $varphi_1=arctg<-frac>=-frac.$

Поскольку число $z_2$ принадлежит четвертой четверти, то $varphi_2=arctg=-frac.$

Далее находим $z_1z_2$ и $frac:$

Ответ: $-24, frac.$

Домашнее зад ание.

Следующие комплексные числа представить в тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

1.436. $1-isqrt 3.$

Ответ: $2left(cosfrac+isinfracright).$

Ответ: $cosfrac+isinfrac.$

1.440. $sinfrac+icosfrac.$

Ответ: $cosfrac+isinfrac.$

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

1.476. $5-12i.$

1.477. $-3-4i.$

1.479.$sinalpha-icosalpha.$

1.480. $sinalpha+i(1-cosalpha).$

1.482 (б). Данные числа $z_1$ и $z_2$ представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

$z^2_1overline z_2;$ $frac,$ если $z_1=-sqrt 3+isqrt 2,$ $z_2=sqrt 8-sqrt 8.$

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:

z=a+ib.(1)

Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.

Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.
Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.(3)

Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.
Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах(4)

r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.

Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1. также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.

Видео:Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа: Действия и Бонус | Высшая математикаСкачать

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа: Действия и Бонус | Высшая математика

Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах. Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахили Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах. Полученные значения вставляем в уравнение (3).

Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах. Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).

Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.

Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах. Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Ответ. Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.

Решение. Вычислим модуль этого числа: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах. Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Ответ. Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах, где φ=arccos(4/5).

Видео:4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи

z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)]
z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)](5)

В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или

|z1z2|=|z1||z2|,(6)

т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей .

arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2),(7)

т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей .

Пример 4. Умножить комплексные числа Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахи Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Ответ. Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Видео:Как перевести комплексные числа из алгебраической в показательную форму и обратно .Скачать

Как перевести комплексные числа из алгебраической в показательную   форму и обратно .

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах
Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах(8)

Отсюда следует, что Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахили

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах(9)

Далее Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах, или

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах(10)

Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого .

Пример 5. Делить комплексные числа Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахи Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Воспользуемся формулой (8):

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формахСледующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Ответ. Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах.

Видео:Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. ПрактикаСкачать

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Практика

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i 0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а yмнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах . Длина вектора Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого k ( k =0;1;1;2;2…): Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , где arg zглавное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах ( k =0;1;1;2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z 1 имеем Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах . Поэтому Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах .

Для действительного числа Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах . Поэтому

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , и исходящим из конца вычитаемого Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах в конец уменьшаемого Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах и Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z 1 и Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , если Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах .

Пусть Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , если ω n = z .

Пусть Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах . Сравнивания части этого равенства, получим: Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах . Отсюда Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a ib Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

В разложение многочлена Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Следующие комплексные числа изобразить векторами в тригонометрической и показательной формах

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

💥 Видео

Комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формеСкачать

Комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме

Показательная форма комплексного числаСкачать

Показательная форма комплексного числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

3. Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Тригонометрична форма комплексного числаСкачать

Тригонометрична форма комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической формеСкачать

Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная запись комплексного числаСкачать

Алгебраическая, тригонометрическая и показательная запись комплексного числа

Решение, записать комплексное число z=−3+√3i в тригонометрической и показательной форме пример 10Скачать

Решение, записать комплексное число z=−3+√3i в тригонометрической и показательной форме пример 10

Видеоурок "Тригонометрическая форма комплексного числа"Скачать

Видеоурок "Тригонометрическая форма комплексного числа"
Поделиться или сохранить к себе: