Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Пирамида и скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА

ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОЛОВНОЙ КООРДИНАЦИОННЫЙ ЦЕНТР

«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ ХХI ВЕКА»

ПИРАМИДА И СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Творческая работа на Х VII Челябинскую

городскую научно-практическую конференцию молодых

исследователей и интеллектуалов «Шаг в будущее»

г. Челябинск, лицей № 000, класс 10.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Введение

Величайшим и самым загадочным из семи чудес древнего мира является комплекс пирамид Гизы в Египте, наиболее впечатляющей из которых является пирамида Хеопса. Ученые и теологи уже многие столетия изучают Великую Пирамиду, поражаясь величию гигантского труда по ее созданию. Пирамида была построена между 10490 и 10390 годами до нашей эры. О пирамиде Хеопса говорят как о наиболее совершенном сооружении в мире — эталоне мер и весов. О том, что в ее геометрической форме закодирована информация о строении Вселенной, Солнечной системы и человека. Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Слово пирамида происходит от греческого «пирамис», этимологически связанного с «пир»«огонь», обозначая символическое представление Единого Божественного Пламени, жизни всех созданий. Посвященные прошлого считали пирамиду идеальным символом Тайной Доктрины. Квадратное основание пирамиды обозначает Землю, четыре его стороны — четыре элемента материи или субстанции, из комбинации которых создана материальная природа. Треугольные стороны ориентированы в направлении четырех сторон света, что символизирует противоположности тепла и холода (юг и север), света и тьмы (восток и запад). Три главных камеры пирамиды соотносятся с мозгом, сердцем и воспроизводящей системой человека, а также с тремя главными его энергетическими центрами. Основное назначение Великой Пирамиды тщательно скрывалось.

Оказалось, что энергия формы пирамиды «умеет делать» очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживлению, тонизирует организм, уменьшает воспалительную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучшения пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет…[6]

Так ли универсальна пирамида? Попытаемся применить эту замечательную фигуру для решения школьных задач.

Мы поставили задачу найти условия, при которых легко можно определить расстояние между скрещивающими прямыми.

Цель работы – найти метод, с помощью которого можно измерять расстояние между скрещивающими прямыми и проверить этот метод для решения практических задач.

Объектом исследования в данной работе являются скрещивающиеся прямые.

Метод исследования – конструирование модели, помогающей определить расположение скрещивающихся прямых в пространстве.

Метод определяет предмет исследования: связь между стереометрическими объектами.

В ходе исследования были найдены условия, при которых поставленная задача решается рациональным способом, а также сформулирован алгоритм применения метода пирамид для решения конкретных задач. В процессе работы изучены существующие методы по данной теме, а также сконструирован удобный и рациональный способ решения данной задачи. Основные понятия

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

1.1 Скрещивающиеся прямые

На уроках стереометрии в десятом классе мы познакомились со скрещивающимися прямыми.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеВ этом же учебнике мы читаем о расстоянии между параллельными плоскостями и в п.3 о расстоянии между скрещивающимися прямыми.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеИспользуя эти материалы, мы приступили к решению практических задач. Решения задач были громоздкими и плохо просматривались на рисунках. Поэтому данную тему я решил отыскать в справочниках и других пособиях.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

1.2 Методы определения расстояний между скрещивающимися прямыми

Журнал «Математика для школьников» в этом году (№1, 2008г.) опубликовал статью «О расстоянии вообще и расстоянии между скрещивающимися прямыми в частности», где подробно описывает все известные способы построения общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых. Рассматриваются конкретные задачи. В научно-теоретическом и методическом «Математика в школе» (№1,2008г) опубликована статья и «О некоторых способах вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми».

Стоит заметить, что задача на построение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым требует весьма кропотливой работы. В то же время при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми нет необходимости строить их общий перпендикуляр! Часто бывает достаточно лишь увидеть (провести) более подходящий отрезок, длина которого и будет искомым расстоянием. При этом целесообразно опираться на одно из следующих утверждений.

1. Расстояние между скрещивающимися прмыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

3. Расстояние 1 между скрещивающимися прямыми, содержащими отрезки АВ и СВ соответственно, можно вычислять по формулеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

где Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде-угол между прямыми AB и CD, а Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде-объем треугольной пирамиды ABCD (рис.1)

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Подходы, основанные на применении первых двух утверждений, будучи чисто геометрическими, требуют от решающего хорошего пространственного воображения. Однако второй подход иногда выгоднее реализовывать в координатно-векторной форме. В справочной литературе встречается общее уравнение плоскости — Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидев прямо угольной системе координат Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде,то можно применить известную в курсе аналитической геометрии формулу расстояния Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеот точки M(Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде) до плоскости, заданной этим уравнением:

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

После изученного материала, я приступил к конструированию изучаемого объекта, с помощью стереометрических моделей, имеющегося в кабинете математики.

В результате я нашел рациональный способ решения поставленной задачи.

Разработанный мною способ нахождения расстояния и угла между скрещивающимися прямыми, который условно назван «Метод пирамиды», дает возможность решить задачу быстро и рационально.

Почему «метод пирамиды»? Дело в том, что при решении задач этим способом строится пирамида РАВСD, а смыслом такого построения является утверждение: «Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, которая является проекцией одной из двух данных скрещивающихся прямых на перпендикулярную к ней плоскость, к ортогональной проекции другой прямой на эту же плоскость».

в журнале «Математика в школе» (№ 6, 1986 год) использовал приведенное утверждение, привел примеры решения задач, но способ построения отличается от «метода пирамиды». Вся последовательность построения состоит из пяти шагов:

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

1. Пусть прямая Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеи Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидескрещивающиеся и произвольная точка Р принадлежит прямой Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

2. Проведем перпендикуляр РА к прямой Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Пусть РА и Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидепринадлежат плоскостиСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

3. Проведем из точки М, которая принадлежит прямой Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде, к плоскости Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеперпендикуляр МN. Пусть прямая РN, которая принадлежит плоскости Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде, пересекает прямую Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидев точке В. Проведем перпендикуляры ВС и АD к плоскости Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидетак, чтоб ВС=АD, а точки С и D принадлежали одной полуплоcкости и точка С принадлежала прямой Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. После этого можно утверждать, что четырехугольник АВСD — прямоугольник, а значит Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидепараллельна (РСD) по признаку параллельности прямой и плоскости.

4. Задача свелась к нахождению расстояния от прямой Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидек параллельной ей плоскости РСD. Прямая Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеперпендикулярна к (РАD) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости; плоскости (АВС) и (РАD) — перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Прямая СD перпендикулярна (РАD), поскольку прямые СD и Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидепараллельны. Плоскости (РАD) и (РСD) перпендикулярны по признаку перпендикулярности плоскостей. Проведем перпендикуляр АК к прямой РD пересечения перпендикулярных плоскостей РАD и РСD. Значит АК будет перпендикуляром и к плоскости (РОС). Итак, отрезок АК, который является высотою прямоугольного треугольника РАD равен расстоянию между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеи Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

5. Проведя КL Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде, точка L принадлежит прямой Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеи LF Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеKA, точка F принадлежит прямойСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеполучаем что LЕ—общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеи Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Если же скрещивающимися прямые пересекаются под прямим углом ( Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидесовпадает с РD или РD принадлежит Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде), то задача значительно упрощается, что часто встречается во многих упражнениях. Кстати, не для всех задач необходимо брать точку М. Выше указанный способ достаточно простой, но при помощи такого подхода мгновенно решаются практически все задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми и построение к ним общего перпендикуляра. Угол между скрещивающимся прямыми Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеи Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеможно найти как угол РСD из прямоугольного треугольника РDС.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

1. Практическая часть. Построение пирамиды. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми

3.1 Задача 1. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а. Определите расстояние между стороною основания и скрещивающейся с нею диагональю боковой грани.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеРешение.

РВSPСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеCSСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде— правильная треугольная призма. Найдем расстояние между ВS и РС. Проведем:

а) РА Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеВS,

б) АD Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеВС, АD= ВС, точка А Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеВS.

в) АК Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеРD; К Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Из ранее доказанного Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеотрезок АК будет равен искомому расстоянию. Применив метод площадей к прямоугольному треугольнику РАD, получаем:

АК= АР *AD:РD = а Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

3.2.Задача 2. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите расстояние между двумя ребрами тетраэдра, которые являются скрещивающимися.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

СРQR — правильный тетраэдр. СО — высота тетраэдра. Будем искать расстояние между РС и RQ.

Проведем РА Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеRQ. Точка А Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеRQ. Поскольку скрещивающимися прямые РС и RQ пересекаются под прямим кутом (за теоремою о трех перпендикулярах), то задача упрощается (Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидесовпадает с РD)). АК -высота прямоугольного треугольника РАD и будет искомым расстоянием, но конечно легче найти АК как высоту равнобедренного треугольника РАС (АС=АР)

АК= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде=Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

3.3. Задача З. Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и диагональю основания куба, которая с нею скрещивается.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеРешение:Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде— куб. Будем искать расстояние между РМ и RQ. По ранее доказанному утверждению отрезок АК, который является высотой прямоугольного треугольника РАD будет равен искомому расстоянию:

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

3.4. Задача 4. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеРешение.

РВQSGCRH — куб. Найдем расстояние между ВS и РС. По ранее доказанному АК является искомым расстоянием:

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

3.5. Задача 5. Ребро правильной четырехугольной пирамиды равно а. Найти расстояние между диагональю основания и скрещивающейся с нею: а) апофемою; б) высотою боковой грани проведенной из вершины основания.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

а) СLQRF — правильная четырехугольной пирамида. Найдем расстояние между QF и CP.

С помощью метода пирамиды почти все построения выполнены, остается провести РА Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеQF, DA Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеВС и AD = ВС. Итак, АК — искомое расстояние. Из прямоугольного треугольника CBQ имеем: Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеИз прямоугольного прямоугольника DAP: Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде; Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

б) SPQRF — правильная четырехугольная пирамида. Найдем расстояние между QF и РС. Как и в предыдущих задачах, все построения выполнены. Остается опустить перпендикуляр СВ на плоскость основания, провести АD=ВС и так, чтобы АDСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеВС. Тогда высота АК прямоугольного треугольника РАD будет искомым расстоянием. Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеПоскольку Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде, то Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеИз прямоугольного треугольника PAD: Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

3.6. Задача 6. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найдите расстояние между ребром тетраэдра и скрещивающейся с ним апофемой.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеРешение.

CPQR— правильный тетраэдр, СВ — его высота. Найдем расстояние между высотой основания RA и боковым ребром СР. АК — расстояние между скрещивающимися СР и RA. Действительно, с помощью метода пирамиды почти все построения уже выполнены, остается построить AD Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеBC, так, чтобы AD=BC тогда высота AK прямоугольного треугольника PAD – искомое расстояние. Из прямоугольных треугольников CBR и PAD имеем Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде;Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеСкрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде; Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде; Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Заключение

В результате проделанной работы я пришел к следующим выводам:

Ø Решая задачи по стереометрии целесообразно использовать дополнительные построения;

Ø Если есть возможность — конструировать модели для наглядности при решении задач;

Ø При определении расстояния между скрещивающимися прямыми предлагаю использовать метод пирамиды.

Литература

1. Геометрия, 10-11: учеб. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /[, , и др.] – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2007

2. Журнал «Математика для школьников» №1 2008 год

3. Журнал «Математика в школе» (№ 6, 1986 год)

4. Журнал «Математика в школе,№1,2008год

5. Энциклопедический словарь юного математика./Составитель . — М.: Педагогика, 1989.

6. .Subject: «Энергия пирамид» — 1 Фрагмент 1-й главы из: «Энергия пирамид, волшебный прут и звёздный маятник».

Видео:7. Скрещивающиеся прямыеСкачать

7. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды .

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE .

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды . Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник .

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

У n- угольной пирамиды имеется ( n + 1) вершин, 2 n рёбер и ( n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром ( « тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник» ) . Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то : а ) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды ; б ) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Доказательств о. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ ) . Из равенства этих треугольников следует: ОА = OВ = ОС = OD = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА = OВ = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательств о. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Проведём высоты РН 1 , РH 2 , РН 3 , PH 4 , РH 5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH 1 ⟂ AB, OH 2 ⟂ BC, OH 3 ⟂ CD, OH 4 ⟂ DE, OH 5 ⟂ EA, следовательно, ∠ OH 1 P = ∠ OH 2 P = ∠ OH 3 P = ∠ OH 4 P = ∠ OH 5 P = ϕ . Поэтому △ OH 1 P = △ OH 2 P = △ OH 3 P = △ OH 4 P = △ OH 5 P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ ) . Из равенства этих треугольников следует ОН 1 = OH 2 = OH 3 = ОН 4 = ОН 5 , т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

• Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

• Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

• Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Доказательств о. Рассмотрим правильную n- угольную пирамиду РА 1 А 2 . A n . Пусть точка O — центр n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n ; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА 1 = OA 2 = OA 3 = . = OA n (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA 1 = PA 2 = PA 3 = . = PA n .

Таким образом, имеем:

РА 1 = РA 2 = . = PA n (как боковые рёбра);

A 1 A 2 = A 2 A 3 = . = A n A 1 (как стороны правильного n- угольника).

Следовательно, треугольники PA 1 A 2 , РA 2 A 3 , . PA n A 1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n , лежащего в основании правильной пирамиды PA 1 A 2 . A n , РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде(где k = 1, 2, 3, . n ), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

 ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α . Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дан о: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h ; ∠ OPF = α .

Решени е. Первый спосо б . Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ⟂ EF, AD ⟂ PF ⇒ АD ⟂ ( РEF ) ⇒ ( PEF ) ⟂ ( ADP ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α .

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Далее имеем: AD ⟂ ( PEF ), ВС || AD ⇒ ВC ⟂ ( PEF ) ⇒ прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL ⟂ РЕ (в плоскости PEF ) , то BС ⟂ FL. Тогда FL ⟂ ВС, FL ⟂ PE ⇒ FL ⟂ ( BCP ) ⇒ ( ADL ) ⟂ ( ВCР ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом ( ADL ) ∩ ( ВСР ) = МK , МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

S сеч = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде• FL.

Найдём AD, МK и FL.

В △ OPF ( ∠ POF = 90 ° ):

OF = OP • tg α = h • tg α ; PF = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= PE.

EF = 2 FO = 2 h • tg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL ⟂ РЕ, РО ⟂ EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α .

Тогда в △ ЕFL : FL = ЕF • cos α = 2 h • tg α • cos α = 2 h sin α ;

в △ PLF ( ∠ PLF = 90 ° , ∠ PFL = 90 ° – 2 α ):

PL = PF • sin (90 ° – 2 α ) = PF • cos 2 α = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

Так как MK | | BC, то △ МKР ∾ △ ВСР, откуда

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде⇒ MK = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде=
= 2 h tg α • cos 2 α .

AD = EF = 2 h • tg α , FL = 2 h • sin α , MK = 2 h • tg α • cos 2 α .

S сеч = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде• FL = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде• 2 h • sin α =
= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD 1 A 1 (см. рис. 105). F 1 = A 1 D 1 ∩ PF. У этого квадрата LF 1 = MK. Найдём F 1 L .

В треугольнике LFF 1 имеем ∠ FLF 1 = α ( LF 1 || EF ) ,

∠ F 1 FL = ∠ OFP – ∠ OFL = (90 ° – α ) – α = 90 ° – 2 α ;

∠ FF 1 L = 180 ° – ∠ OFF 1 = 90 ° + α . Тогда по теореме синусов

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде
⇒ LF 1 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Значит, MK = LF 1 = 2 h • tg α • cos 2 α .

Второй спосо б . Пусть точки M 1 , K 1 , L 1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M 1 ∈ BD, K 1 ∈ AC, L 1 ∈ EF, причём четырёхугольник ADK 1 M 1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK 1 M 1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что S ADKM = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Найдём Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M 1 K 1 || AD, то OL 1 = L 1 K 1 , OF = FD. Значит,

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде• L 1 F = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде• FL 1 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

S ADKM = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

Ответ: 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

1 4.4. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают S бок ) называется сумма площадей всех её боковых граней: S бок = S 1 + S 2 + . + S n , где S 1 , S 2 , . S n — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают S полн ) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: S полн = S бок + S осн .

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Доказательств о. PA 1 A 2 . A n — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n- угольника A 1 A 2 . A n , а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE 1 = РE 2 = PE 3 = . = PE n = a.

S бок = S △ PA 1 A 2 + S △ PA 2 A 3 + . + S △ PA n A 1 =
= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеA 1 A 2 • PE 1 + Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеA 2 A 3 • PE 2 + . + Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеA n A 1 • PE n =
= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеa • ( A 1 A 2 + A 2 A 3 + . + A n A 1 ) = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеP • a,

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. ▼

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то S бок = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Доказательств о. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA 1 A 2 A 3 . A n , все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH 1 , PH 2 , . PH n — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH 1 ⟂ A 1 A 2 , OH 2 ⟂ A 2 A 3 , . OH n ⟂ A n A 1 . Значит,

∠ OH 1 P = ∠ OH 2 P = ∠ OH 3 P = .
. = ∠ OH n P = ϕ .

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n . Поэтому n- угольник A 1 A 2 . A n является объединением непересекающихся треугольников A 1 OA 2 , A 2 OA 3 , . A n OA 1 . Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

S △ A 1 OA 2 = S △ A 1 PA 2 • cos ϕ ,
S △ A 2 OA 3 = S △ A 2 PA 3 • cos ϕ ,
.
S △ A n OA 1 = S △ A n PA 1 • cos ϕ .

Сложив почленно эти равенства, получим S осн = S бок • cos ϕ , откуда S бок = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Теорема доказана. ▼

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ , см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

S бок = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

14 . 5 . Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α , параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 109).

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O 1 = РО ∩ α .

Рассмотрим гомотетию Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидес центром Р , при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеотображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А 1 В 1 С 1 D 1 , при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , а точку O — на точку O 1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= k, (*)

где k — коэффициент гомотетии Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A 1 B 1 C 1 D 1 , являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD .

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO 1 : РО , где РO 1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S A 1 B 1 C 1 D 1 : S ABCD = k 2 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде: PO 2 .

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α , параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA 1 B 1 C 1 D 1 и многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 109).

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды , остальные грани — её боковыми гранями . Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n- угольной усечённой пирамиды 2 n вершин, 3 n рёбер, ( n + 2) грани и n ( n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О 1 О, B 1 K — высоты усечённой пирамиды.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды . Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO 1 , соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой .

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему .

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу S бок = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде• h , где Р 1 , P 2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

S полн = S бок + S 1 + S 2 ,

где S 1 и S 2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ , справедливо: S бок = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде. (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S 1 = 0,5 • P 1 • R , S 2 = 0,5 • P 2 • r, cos ϕ = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде, где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14 . 7 . Объём пирамиды

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики .

Доказательств о. Пусть пирамиды РАВС и P 1 A 1 B 1 C 1 имеют высоты, равные H , и равновеликие основания с площадью S ; их объёмы — соответственно V 1 и V 2 . Докажем, что V 1 = V 2 .

Расположим пирамиды РАВС и P 1 A 1 B 1 C 1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана. ▼

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Доказательств о. Пусть А 1 AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A 1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA 1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA 1 B 1 C 1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A 1 : A 1 ABC, A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 . Основания BB 1 C 1 и BCC 1 пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A 1 BB 1 C 1 , a △ A 1 B 1 C 1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А 1 AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A 1 B 1 C 1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA 1 B 1 C 1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A 1 ABC. Это означает, что объём V пирамиды A 1 АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA 1 B 1 C 1 , т. е. V = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS ocн • Н, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS осн • H ,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF .

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Для вычисления объёма n- угольной пирамиды PA 1 A 2 . A n (рис. 115) разобьём её основание A 1 A 2 . A n диагоналями A 1 A 3 , A 1 A 4 , . A 1 A n – 1 на треугольники с общей вершиной A 1 . Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA 1 A 2 A 3 , PA 1 A 3 A 4 , . PA 1 A n – 1 A n с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA 1 A 2 . A n равен сумме объёмов V 1 , V 2 , . V n – 2 треугольных пирамид соответственно PA 1 A 2 A 3 , PA 1 A 3 A 4 , . PA 1 A n – 1 A n .

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S 1 , S 2 , . S n – 2 . Это означает, что S 1 + S 2 + . + S n – 2 = S. Тогда получаем:

V = V 1 + V 2 + . + V n – 2 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеH ( S 1 + S 2 + . + S n – 2 ) = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS • H.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS осн • H ,

где S осн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Итак, доказана теорема.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS 1 • h 1 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS 2 • h 2 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS 3 • h 3 = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS 4 • h 4 ,

где S k и h k ( k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а ), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б ).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

— скрещивающиеся рёбра попарно равны;

— все высоты равны;

— сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180 ° ;

— двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A 1 C 1 BD . Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA 1 В 1 C 1 D 1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А 1 C 1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А 1 C 1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A 1 С 1 ВD и ещё четыре тетраэдра: A 1 ABD ; ВВ 1 A 1 C 1 ; C 1 CBD ; DD 1 A 1 C 1 . Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD , т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

V A 1 C 1 BD = V – 4 • Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеV = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеV = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеh • S ABCD = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеh • Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеAC • BD • sin ϕ =
= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеh • A 1 C 1 • BD • sin ϕ ,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD . А так как AC || A 1 C 1 , то величина угла между скрещивающимися диагоналями A 1 С 1 и BD тетраэдра А 1 С 1 BD также равна ϕ .

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S 1 и S 2 , а высота — Н , вычисляется по формуле

V = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеH ( S 1 + Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде+ S 2 ) .

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

Доказательств о. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S 1 > S 2 , а высота OO 1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO 1 дополнительной пирамиды равна x , то высота PO полной пирамиды равна H + x .

Выразим х через S 1 , S 2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S 1 : S 2 = ( H + x ) 2 : x 2 ⇒ Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде: Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= ( H + x ) : x ⇒
⇒ x = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде.

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

V = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS 1 ( H + x ) – Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеS 2 • x = Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде( S 1 • H + ( S 1 – S 2 ) • x ) =
= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде( S 1 H + ( Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде+ Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде) H Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде) =
= Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамидеH ( S 1 + Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде+ S 2 ) ,

Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Скрещивающиеся и параллельные прямые в пирамиде

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых. Далее рассмотрим три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве. Докажем теорему о том, что через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.
В конце урока решим несколько задач в тетраэдре на скрещиваемость прямых.

🔥 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Угол между скрещивающимися прямыми Четырёхугольная пирамидаСкачать

Угол между скрещивающимися прямыми Четырёхугольная пирамида

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ 10 класс стереометрияСкачать

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ 10 класс стереометрия

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Скрещивающиеся прямыеСкачать

Скрещивающиеся прямые

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

№44. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые.Скачать

№44. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые.

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямыеСкачать

Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямые
Поделиться или сохранить к себе: