Система векторов из r4

Линейно зависимы ли векторы в R 4 ?

Составим линейную комбинацию векторов a1, a2, a3, a4:
α1a1 + α2a2 + α3a3 + α4a4.

Чтобы выяснить, являются ли векторы a1, a2, a3, a4 линейно зависимыми или нет, достаточно определить, сколько решений имеет уравнение
α1a1 + α2a2 + α3a3 + α4a4 = 0, где в качестве неизвестных выступают коэффициенты α1, α2, α3, α4. Если это уравнение имеет единственное решение (нулевое решение есть всегда), то векторы линейно независимы. Если у уравнения есть ненулевое решение, то векторы линейно зависимы.

Подставим числовые значения векторов a1, a2, a3, a4, получим:
α1(4, −5, 2, 6) + α2(2, −2, 1, 3) + α3(6, −3, 3, 9) + α4(4, −1, 5, 6) = (0, 0, 0, 0).

Умножим каждый из векторов на свой коэффициент и сложим все векторы в левой части равенства, получим:
(4α1 + 2α2 + 6α3 + 4α4, −5α1 − 2α2 − 3α3 − α4, 2α1 + α2 + 3α3 + 5α4, 6α1 + 3α2 + 9α3 + 6α4) = (0, 0, 0, 0).

Два вектора равны, если равны их соответствующие компоненты. Следовательно полученное равенство векторов равносильно системе:

Найдем число решений этой системы, используя метод Гаусса. Матрица коэффициентов имеет вид:

Заметим, что столбцы матрицы коэффициентов — это в точности данные четыре вектора. Мы не пишем столбец со свободными членами, так как все они равны нулю и при элементарных преобразованиях строк не меняются. Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Полученная матрица состоит из трех строк и четырех столбцов. Исходная система линейных уравнений имеет ненулевое решение. Следовательно данные векторы a1, a2, a3, a4 линейно зависимы.

Ответ. Векторы a1, a2, a3, a4 линейно зависимы.

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость. ТемаСкачать

Линейная зависимость системы векторов. Коллинеарные векторы

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Видео:Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = ( a 1 ; a 2 ) , b = ( b 1 ; b 2 ) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3. Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Видео:Линейная зависимость векторов. РангСкачать

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = ( 1 ; 3 ) и b = ( 2 ; 1 ) на коллинеарность.

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ: a | | b

Какое значение m вектора a = ( 1 ; 2 ) и b = ( — 1 ; m ) необходимо для коллинеарности векторов?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = — 2 .

Ответ: m = — 2 .

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k — 1 ( a k — 1 a 1 ) e 1 + ( a k — 1 a k ) e k + . . . + ( a k — 1 a n ) e n = 0

— a k — 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k — 1 , k + 1 , n

β 1 e 1 + . . . + β k — 1 e k — 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = ( — β 1 ) e 1 + . . . + ( — β k — 1 ) e k — 1 + ( — β k + 1 ) e k + 1 + . . . + ( — β n ) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k — 1 e k — 1 — e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен — 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Видео:Линейная зависимость векторов на примерахСкачать

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = — 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , — 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 — x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 — 1 | 0 1 0 1 | 0

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей — 1-ю:

1 1 0 | 0 1 — 1 2 — 1 — 1 — 0 | 0 — 0 1 — 1 0 — 1 1 — 0 | 0 — 0

1 1 0 | 0 0 1 — 1 | 0 0 — 1 1 | 0

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

1 — 0 1 — 1 0 — ( — 1 ) | 0 — 0 0 1 — 1 | 0 0 + 0 — 1 + 1 1 + ( — 1 ) | 0 + 0

0 1 0 | 1 0 1 — 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Видео:Линейная зависимость векторовСкачать

Глава VII

Видео:Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

1. Арифметическое пространство R n

Величина, которая полностью характеризуется своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром (масса, объем, температура). Скаляр определяется числом, положительным, отрицательным или равным нулю. Если величина характеризуется еще и направлением, то она называется векторной или вектором (сила, скорость и так далее). Таким образом, вектор определяется числом и направлением.

Многие вопросы как теоретического, так и прикладного характера приводят к рассмотрению упорядоченных совокупностей чисел (величин). Например, план работы предприятия, выраженный в определенных числовых показателях, рост цен за ряд лет и так далее. Если отвлечься от конкретного смысла объектов, мы приходим к следующему понятию.

Определение 1.1. Множество всех упорядоченных совокупностей по n чисел (х₁,х₂. х_n) называется арифметическим n-мерным пространством ( R n )

(n — размерность пространства).

Будем теперь предполагать, что на плоскости или в пространстве всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат. Тогда каждая точка будет определена своими координатами А(х₁,х₂. х_n), В(у₁,у₂. у_n).

Арифметическое пространство R 1 (или R) образует множество действительных чисел. R 2 представляет собой плоскость, при этом имеем

.

R 3 — это трехмерное пространство; при этом имеем

.

В случае R n мы имеем дело с n-мерным пространством и тогда

. (1.1)

Определение 1.2. Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние по формуле (1.1), называется n-мерным Евклидовым пространством.

Свойства расстояния между двумя точками:

1. r (А,В) ³ 0, причем если r (А,В) = 0, следовательно, А = В.

2. r (А,В) = r (В,А) для всех точек А, В Î R n ,

3. r (А,C) £ r (A,В) + r (B,C) для всех точек А, В, C Î R n ,

Рассмотрим более подробно понятие вектора.

Для определения положения точки на прямой построим систему координат:

1) возьмем на прямой произвольную точку О и назовем ее началом координат;

2) примем какой-нибудь отрезок (ОЕ = е) за единицу масштаба;

3) выберем положительное направление.

Теперь положение любой точки М будет определяться числом , которое показывает расстояние от точки М до точки О со знаком ‘+’ или ‘-’ в зависимости от направления.

Примем следующее обозначение: х- координата точки М, что будем записывать как М(х). Тогда

,

то есть точка считается заданной, если известна ее координата. В дальнейшем если будем говорить о точке, то будем иметь ввиду число (координату точки) и наоборот, таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие.

Определение 1.3. Отрезок, у которого указаны начало и конец, называется направленным отрезком или вектором.

Для этого понятия вводятся следующие обозначения: модуль вектора —

, .

Видео:§44 Линейная независимость векторовСкачать

2. Линейные операции

1. Введем понятие о векторе О, модуль которого равен 0 (направление произвольно).

2. , если они расположены на параллельных прямых или совпадают, и , и одинаково направлены — в этом случае мы не будем их различать, то есть имеем так называемый свободный вектор, который допускает перенос его в любую точку пространства.

3. , .

а) переместительное свойство

;

б) сочетательное свойство

;

в) для всякого существует такой, что — нулевой вектор.

4. .

5. ( k > 0, k 6. (так называемый орт), при этом .

Определение 2.1. Два вектора и называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле.

Теорема 2.1. Для того чтобы два вектора и были бы коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы

(k — скаляр).

Определение 2.2. Три вектора , , называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле.

Теорема 2.2. Чтобы три ненулевых вектора , , были бы компланарны, необходимо и достаточно , чтобы один из них является линейной комбинацией двух других.

(k, l — скаляры).

Определение 2.3. Под декартовыми прямоугольными координатами x, y, z точки М будем понимать проекцию ее радиус-вектора на соответствующие оси координат.

То есть в пространстве для каждой точки М существует ее радиус-вектор (начало которого О, а конец М).

(2.1)

Пусть задан вектор , обозначим

то есть .

(2.2)

Видео:Линейно зависимые векторы: как доказать?Скачать

3. Действия над векторами, заданными в координатной форме

Пусть .

Введем в рассмотрение единичные векторы (орты) , ,

, ,

. (3.1)

Теперь введем линейные операции над векторами в следующем виде:

1.

, где l — скаляр.

2. .

Видео:Примеры Линейная зависимость векторов Базис и ранг системы векторовСкачать

4. Скалярное произведение векторов

Определение 4.1. Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

. (4.1)

=пр_ab

=пр_ab

. (4.2)

Или в координатной форме

.

Но тогда, используя определение (7.7), можно вывести формулу для нахождения угла между векторами

(4.3)

Видео:Линейная зависимость и независимость систем векторовСкачать

5. Системы векторов

Определение 5.1. Множество L с определенными для его элементов операциями сложения и умножения на число, удовлетворяющими следующим аксиомам

2. (х + у) + z = x + (y + z)

3. существует элемент 0 такой, что х + 0 = х

4. для любого элемента х существует такой элемент -х,

6. b × ( a × х) = ( b × a ) × х

7. ( a + b ) × х = a × х + b × х

8. a × (х + у) = a × х + b × у

называется линейным (векторным) пространством, а его элементы — векторами.

1. Множество всех векторов пространства.

2. Множество всех векторов, принадлежащих плоскости или параллельных ей.

3. Множество многочленов (любых степеней).

называется линейной комбинацией векторов а₁, а₂. а_n с коэффициентами х₁, х₂, . х_n.

Очевидно, что любая комбинация векторов некоторого линейного пространства

представляет собой вектор этого же пространства. Если некоторый вектор можно представить в виде

то говорят, что вектор b разложен по векторам а₁, а₂. а_n.

По двум неколлинеарным векторам можно разложить любой вектор, лежащий с ними в одной плоскости.

Важную роль в теории линейных пространств играет понятие линейной зависимости и независимости векторов.

Система векторов а₁, а₂. а_n пространства L называется линейно независимой, если

имеет место, когда х_i = 0 (i = 1 ÷ n), а если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Система n линейно независимых векторов в n- мерном пространстве называется базисом этого пространства.

Пусть а₁, а₂, . а_n образуют базис, а b — произвольный вектор этого же пространства, тогда система

будет зависима, так как из того, что

следует, что l _n+1 ¹ 0, следовательно,

Это разложение будет единственным.

Пусть это не так, то есть

то есть разложения совпадают.

Коэффициенты разложения вектора называются координатами вектора в данном базисе.

Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать

6. Разложение вектора по системе векторов

Легко можно показать, что R n можно рассматривать как линейное пространство, а его элементы считать векторами.

Будем обозначать элементы пространства через Х(х₁, х₂, . х_n), а числа х₁, х₂, . х_n назовем компонентами вектора Х.

Нуль-вектором считаем вектор, все компоненты которого равны нулю 0(0,0. 0). Но элементы R n можно интерпретировать как однострочные (или одностолбцовые) матрицы. И тогда R n будет линейным пространством таких матриц. (Смотри операции над матрицами, равенство, сложение, умножение).

Пусть теперь мы имеем k векторов (систему векторов) а_j(а_1j,а_2j. а_kj) ( j = 1,2. k); их компоненты а_ij имеют два индекса: i — номер компоненты данного вектора, j — номер вектора в системе.

Пусть дан еще вектор b(b₁,b₂. b_n). В силу определения равенства векторов и действий между ними мы можем записать

. (6.1)

Это равенство можно записать в виде системы n линейных уравнений с k переменными

. (6.2)

Компоненты вектора а_j образуют столбец коэффициентов при переменной х_j в этой системе, а компоненты вектора b — столбец свободных членов. Верно и обратное: если в произвольно заданной системе линейных уравнений (6.2) совокупности коэффициентов при одной и той же переменной и свободные члены интерпретировать как соответствующие k векторы , то мы придем к векторному уравнению (6.1).

Уравнение (6.1) называется векторной формой записи системы линейных уравнений (6.2).

Если система (6.2) несовместна, то разложение вектора b по векторам а₁,а₂. а_k невозможно. Если система (6.2) совместна, то разложение (6.1) возможно, а каждое решение системы (6.2) является совокупностью коэффициентов этого разложения.

(6.3)

есть векторная запись однородной системы линейных уравнений

(6.4)

Система (6.4) всегда совместна, так как имеет нулевое решение; и если это решение единственное, то равенство (6.3) имеет место только при нулевых значениях коэффициентов, то есть система векторов а₁,а₂. а_k линейно независима.

С другой стороны, нулевое решение системы (6.4) будет единственным тогда и только тогда, когда ее ранг равен числу переменных (r = k), или иначе говоря, утверждение “система векторов а₁,а₂. а_k линейно независима” эквивалентно условию по отношению к рангу матрицы

, (6.5)

столбцы которой образованы компонентами этих векторов: ранг этой матрицы должен быть равен числу ее столбцов.

Но r £ n, следовательно, если система k векторов линейно независима, то

k = r £ n. (Мы доказали теорему).

Теорема 6.1. В пространстве R n система линейно независимых векторов не может содержать более n векторов.

Теорема 6.2. Любые n векторов, для которых определитель со столбцами, образованными компонентами векторов, не равен 0, будут линейно независимы.

Таким образом если

то векторы будут линейно независимыми (k = n, D ¹ 0, система (6.4) имеет единственное нулевое решение; матрица (6.5) — квадратная, и ранг матрицы r равен n).

Отсюда следует, что размерность линейного пространства равна n.

Векторы, для которых D ¹ 0, образуют базис этого пространства. Решение системы (6.4) является совокупностью координат вектора в этом базисе (в системе (6.4) в этом случае k = n, а системы (6.2) и (6.4) имеют один и тот же D ).

Показать, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис в R 4 (линейное 4-х мерное пространство) и определить координаты вектора b в этом пространстве.

.

Так как D ¹ 0, следовательно, векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис в R 4 .

Для вычисления координат вектора b в этом базисе составим систему линейных уравнений

Решение этой системы

представляет собой совокупность координат вектора b в базисе а₁, а₂, а₃, а₄, то есть b(2, 0, -1, 3) или

З а м е ч а н и е.

Базис в R 4 , как и в любом другом пространстве, может быть выбран не единственным образом.

Векторы е_j (j = 1,2. n) образуют базис, если

Проверить самостоятельно, что это базис.

В данном случае координаты вектора являются и его компонентами. ×

Видео:Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

7. Линейные преобразования

Пусть дано n-мерное действительное пространство, которое обозначим через L_n. Рассмотрим преобразование этого пространства, переводящее каждый вектор а, принадлежащий L_n, в некоторый вектор а / этого же пространства. Вектор а / назовем образом вектора а при рассматриваемом преобразовании. Условимся, что вместо принятого а / = j (а) будем писать а / = а j .

Определение 7.1. Преобразование j линейного пространства L_n называется линейным преобразованием этого пространства, если:

1. (a + b) j = a j + b j

2. ( a × a) j = a × (a j )

Из определения (7.9) следует, что линейное преобразование L_n переводит любую линейную комбинацию данных векторов а₁, а₂, . а_n в линейную комбинацию с теми же коэффициентами образов этих векторов

Если добавить еще одно условие:

то есть нулевой вектор остается неподвижным,

то можно получить некоторое обозрение всех линейных преобразований линейного пространства L_n.

Пусть е₁, е₂. е_n — база этого пространства. Так как всякий вектор а, принадлежащий L_n, однозначно представим в виде линейной комбинации векторов базы, то согласно (), образ вектора ас теми же коэффициентами выражается через образы векторов базы е₁, е₂. е_n.

Теперь можно показать, что существует взаимно однозначное соответствие между всеми линейными преобразованиями пространства L_n и всеми квадратными матрицами порядка n, то есть

Пусть в базе е₁, е₂, е₃ трехмерного линейного пространства линейное преобразование j задано матрицей

Определение 7.2. Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базах, подобны между собой. При этом матрица линейного преобразования j в базе е / получается трансформированием матрицы этого преобразования в базе е матрицей перехода от базы е / к базе е.

Пусть матрица А задает линейное преобразование j в базе е. Тогда любая матрица В, подобная матрице А,

также задает преобразование j в некоторой базе, а именно в базе, получающейся при помощи матрицы перехода Q -1 от базы е к базе е / .

Другими словами матрица Т называется матрицей перехода от одной базы к другой , если

е / = Т × е, где Т — матрица перехода.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

8. Характеристические корни и собственные значения

Пусть — квадратная матрица порядка n с действительными элементами, l — некоторое неизвестное.

где Е — единичная матрица порядка n, которая называется характеристической матрицей матрицы А.

Определитель матрицы А- l × Е будет многочленом от l , причем степени n.

Многочлен n-ной степени называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и мнимыми, называются, характеристическими корнями этой матрицы.

Теорема 8.1. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями.

Д о к а з а т е л ь с т в о :

Тогда, учитывая, что матрица l × Е перестановочна с матрицей Q, а , получаем

.

Определение 8.1. Пусть в действительном линейном пространстве L_n задано линейное преобразование j . Если вектор b, отличный от нуля, переводится преобразованием j в вектор, пропорциональный самому b,

где l ₀ — некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором преобразования j , а число l ₀ — собственным значением этого преобразования.

З а м е ч а н и е.

0-вектор не является собственным вектором преобразования j .

Теорема 8.2. Действительные характеристические корни линейного преобразования j , если они существуют, (и только они) служат собственными значениями этого преобразования.

З а м е ч а н и е. Хотя линейное преобразование j в разных базах задается различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней. Поэтому мы и называем их характеристическими корнями самого преобразования j .

Полное изложение данной темы смотри Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1984.

Назад Далее

💡 Видео

Примеры линейной зависимости векторов.Скачать

Линейная комбинация векторовСкачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать