Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.
Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать
Свойства движения
При движение все точки, лежащие на прямой, перейдут в точки также лежащие на прямой. Порядок их взаимного расположения останется неизменным. Т.е. Прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и т.д. При движении градусная мера угла между двумя полупрямыми останется неизменной.
Пусть на плоскости задана точка О. (Рис.2) Возьмем произвольную точку А. Если через точки О и А провести прямую и отложить от точки О отрезок ОА’, равный отрезку АО, то точка О будет называться точкой симметрии. А точка А’ — точкой симметричной точке А относительно точки О.
При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.
Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.
Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.
Рис.2 Симметрия относительно точки.
Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать
3.Симметрия относительно прямой
Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE’, равный отрезку ЕВ, то точка Е’ будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.
При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С’, симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.
Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.
Рис.3 Симметрия относительно прямой.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать
4.Параллельный перенос и его свойства
Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А’ на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S’, в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.
Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.
Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:
При параллельном переносе все точки какой-либо фигуры смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые, параллельные прямые — в параллельные. Расстояния между точками какой-либо фигуры при перемещении, так же как и углы между прямыми, сохраняются.
Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.
5.Пример 1
Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Доказательство:
Пусть дан параллелограмм АВA’В’ (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB’ и ВОА’ равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА’, ВО = ОB’, углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A’ и B’ симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.
Теперь на стороне АВ’ возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ’ и BOE’ равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB’ и углы при вершинах О и В,B’ равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B’ как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE’ равны, т.е. ЕО = ОE’.
Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма.
Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.
Пример 2
Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.
Доказательство:
Пусть АВА’ данный равнобедренный треугольник с основанием АА’, АВ = ВA’ (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A’BO равны по трем сторонам (АВ = ВA’, АО = ОA’, сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A’ относительно прямой а, так как основание АA’ перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА’ относительно прямой а.
Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.
Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА’. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ’. Рассмотрим треугольники ЕВО’ и BO’E’. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO’ у них общая, углы при вершинах В и О’ равны). Следовательно, ЕО’ = O’E’.
Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану.
Отсюда следует, что любая точка Х’ треугольника ВОА’ симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА’ сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.
Пример 3
Параллельный перенос задается формулами x’ = x + 2, y’ = y — 3. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки А (1;1), В (2;2), С (-2;0).
Решение:
По условию задачи параллельный перенос задается формулами:
x’ = x + 2, y’ = y — 3
Следовательно, точка А переходит в точку А’ с координатами:
Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.
Доказательство:
Пусть даны два ромба: ABCD и A»B»С»D». AC = A»C», BD = B»D». Углы между диагоналями равны 90°. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину A», вершина В — в B», вершина С — в С», вершина D — в D».
Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС’ и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A’B’C’D’. Если точки А и А’ различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A’A» и проходящей через его середину и точку С’. Таким образом, отрезок A’C’ перейдет в отрезок A»C». И в результате получим ромб A»B»’C»D»’.
Преобразование симметрии относительно прямой является движением. А при движении точки переходят в точки, прямые — в прямые, углы между прямыми, так же как и расстояния между точками, сохраняются.
Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов.
Отсюда следует, что отрезок B»’D»’ перпендикулярен отрезку А»C» и проходит через его середину, а точки B»’ и D»’ совпадают с точками B» и D», так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A»C» и B»D». А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A»B»C»D», так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A»B»C»D».
Пример 5
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2;2) переходит в точку A'(3;-2), а точка В (-2;1) переходит в точку В'(-2;-3).
Решение:
Параллельный перенос задается формулами:
x’ = x + a, y’ = y + b
где а и b одни и те же числа. Отсюда следует, что
a = x’ — x, b = y’ — y. Подставим координаты точки А и A’:
a = 3 — 2, b = -2 — 2; т.е. a = 1, b = -4
Следовательно, параллельный перенос по точке А задается формулами: x’ = x + 1, y’ = y — 4
Отсюда, координаты точки В» будут:
x» = -2 + 1 = -1, y» = 1 — 4 = -3
т.е. B»(-1;-3), а точка B’ имеет координаты (-2;-3).
Следовательно, такого параллельного переноса не существует. (Рис.9)
Осевая и центральная симметрия. Параллельный перенос, поворот – как движение плоскости
Движение – это отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры совместить (наложить) друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.
Одно из таких движений – осевая симметрия. Каждой точке в плоскости по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.
Точки M и M1 являются симметричными относительно прямой а, если она проходит через центр отрезка MM1, и если она расположена под прямым углом к этому отрезку. Все точки рассматриваемой прямой а считаются симметричными сами себе. Фигура считается симметричной относительно прямой а, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для нее точка относительно прямой а также находится на этой фигуре. Прямая а является в этом случае осью симметрии фигуры (фигура с осевой симметрией).
Другим частным случаем отображения плоскости на себя является центральная симметрия. Точка плоскости M переходит в точку плоскости M1 по следующему закону:
1. Из точки M проводится прямая, соединяющая точку с центром симметрии (точкой O).
2. На прямой откладывается отрезок (OM_1=OM) , и находится точка (M_1) .
Фигура симметрична относительно точки О, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Точка О – это центр симметрии. Есть фигуры с центральной симметрией – это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии – это ее центр, у параллелограмма центр симметрии – это точка, в которой пересекаются его диагонали.
Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает – задать вектор.
Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т. е. AB = A1B1.
Если одна фигура получена из другой фигуры поворотом всех ее точек относительно центра O на один и тот же угол в одном и том же направлении, то такое преобразование фигуры называется поворотом.
Чтобы поворот имел место, должен быть задан центр O и угол поворота α.
Против часовой стрелки положительный угол поворота, наоборот – отрицательный угол поворота (так же, как углы поворота в единичной окружности).
Обозначим на плоскости точку О (центр поворота) и зададим угол α (угол поворота). Треугольник ABC повернут в положительном направлении (приблизительно на α = 45 градусов). При этом точка О остается на своем месте, т. е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одинаковом направлении – по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать
Лекция на тему: Параллельный перенос, симметрия
Видео:Тема: Движения. Урок: Композиция движений на плоскости. Параллельный перенос, поворотСкачать
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.
Сформировать понятие параллельного переноса;
Рассмотреть симметрию относительно плоскости.
Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.
Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.
Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.
Параллельный перенос используется для конструирования графиков функций.
На рисунке изображена парабола и два результата параллельного переноса.
Иногда параллельный перенос встречается в необычных ситуациях:
Термин «cимме́три́я» — (др.-греч. συμμετρία) по гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»
Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.
Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.
Перечислим виды симметрии.
Видео:Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать
Виды симметрии
Осевая симметрия
Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точу А, при этом отрезок AA´ l , называется осевой симметрией.
Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A´.
В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l,
фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.
Центральная симметрия.
Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.
Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O.при этом центр O называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.
Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.
Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.
Трансляционная симметрия
Поворот
Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.
Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.
Параллельный перенос.
Преобразование при котором каждая точка фигуры или тела перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом .
Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор .
Скользящая симметрия
Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.
Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:
отрезок переходит в равный ему отрезок;
угол переходит в равный ему угол;
окружность переходит в равную ей окружность;
любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.
параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.
* В стереометрии вводится еще один вид симметрии –
🔥 Видео
Геометрия 9 класс 27-28 неделя Поворот. Параллельный переносСкачать
Геометрия 9 класс : Параллельный перенос и поворотСкачать
l , называется осевой симметрией.
.
