Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.

4) «Около любого ромба можно описать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника

Если центр описанной около треугольника окружности лежит на стороне треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является гипотенузой.

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаДано : ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB

Доказать : ∆ABC — прямоугольный,

AB — хорда проходящая через центр окружности. Значит, AB — диаметр.

Значит, треугольник ABC — прямоугольный, AB — гипотенуза.

Что и требовалось доказать .

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20. Найти AC, если BC=32.

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаДано : ∆ABC, окружность (O: R) — описанная, O∈AB, R=20, BC=32

Так как центр описанной около треугольника окружности ABC окружности лежит на стороне AB, то ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаОкружность описанная около треугольника
Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ОПИСАННОЙ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА АБС ЛЕЖИТ НА СТОРОНЕ АБ РАДИУС 14,5

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Центр окружности описанной вокруг треугольникаСкачать

Центр окружности описанной вокруг треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника
Площадь треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника
Радиус описанной окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.Скачать

Описанная окружность 1. Центр окружности, описанной около треугольника.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центр окружности описанной около треугольника находится на стороне этого треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

🎬 Видео

ОГЭ 2023. Вариант 37, задание 16. И.В. Ященко 50 вариантов. Задача.Скачать

ОГЭ 2023. Вариант 37, задание 16.  И.В. Ященко 50 вариантов. Задача.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. Теорема Пифагора. ОГЭ по математике. Задание 16

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48Скачать

Центр окружности, описанной около треуг ABC лежит на стороне AB Радиус равен 25 Найти AC если BC=48

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7

Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 16 ЕГЭ по математике

15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать

15 задание треугольники огэ по математике / маттайм

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Центр окружности, описанной около треугольника, Вариант 1, задание 17, Ященко ОГЭ 2020Скачать

Центр окружности, описанной около треугольника, Вариант 1, задание 17, Ященко ОГЭ 2020

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторонуСкачать

Геометрия Радиус окружности, описанной около треугольника MKP равен 5 см SinM = 0,7 Найдите сторону
Поделиться или сохранить к себе: