История признака равенства треугольников (8 видео)

Признаки равенства треугольников

В реферате приводятся доказательств трех признаков равенства треугольников

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Учебный проект на тему: «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».
Признаки равенства треугольников
📸 Видео

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
priznaki_ravenstva_treugolnikov._referat.doc	387 КБ

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Предварительный просмотр:

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ ШКОЛА ИМЕНИ ДВАЖДЫ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА П.Р. ПОПОВИЧА»

«Признаки равенства треугольников»

Выполнила: учащаяся 7 «В» класса Мигунова София

Учитель: Дарья Геннадьевна Исакова

Историческая справка ……………………………………………. 5

Первый признак равенства треугольников ……………………..7

Второй признак равенства треугольников……………………….9

Третий признак равенства треугольников……………………….10

Треугольник является одной из центральных фигур всей геометрии.

При решении задач используют его самые разнообразные свойства.

Свойства треугольника широко применяют на практике: в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности, при проектировании различных деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии треугольник является очень значимой фигурой; треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов.

Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Тему треугольника можно продолжать неограниченно.

Каких только треугольников нет на свете!

Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя. Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб. Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

Поэтому изучение треугольника и всех его свойств – очень актуальная тема.

Цель данной работы – рассказать о признаках равенства треугольников, что является одним из важнейших их свойств.

Признаки равенства треугольников — это теоремы, на основании которых можно доказать, что некоторые треугольники равны.

В геометрии используются три признака равенства треугольников.

Данная тема практически изучена, так как на сегодняшний день существуют три признака равенства треугольников, доказываемых с помощью соответствующих теорем.

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор. Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем (рис. 1): пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC и AB ; в противоположном направлении восстанавливают CE и AC так, чтобы точки D (середина AC ), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB . Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников ( по двум сторонам и углу между ними), создателем его также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени (рис. 2).

Первый признак равенства треугольников

( по двум сторонам и углу между ними )

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника (рис. 3). Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Равенство треугольников ABC и А 1 В 1 С 1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1 . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.

Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , (рис. 4) у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1 . Докажем, что ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1 .

Так как ∠А = ∠А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС — со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Используя этот признак подобия, мы можем измерить высоту любой башни и не только высоту, а спроектировать на чертежах любую постройку.

Для исследования этого признака есть практическая задача на вычисление длины озера (рис. 5).

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500 м.

Сколько же нужно много свободного пространства чтобы сделать эти измерения? А не легче ли применить второй признак подобия треугольников?

Второй признак равенства треугольников

(по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).

При измерении длины озера (рис. 7): так же можно отметить на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы отношения DC:CB и KC:AC оказалась равными.

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Если в △АВС и △А 1 В 1 С 1 будут иметь место следующие равенства AB=А 1 В 1 , ∠BAC=∠B 1 A 1 C 1 , ∠АВС= ∠А 1 В 1 С 1 . Наложим друг на друга треугольники А 1 В 1 С 1 и АВС таким образом, чтобы совпали равные стороны AB и А 1 В 1 и углы, которые к ним прилегают. Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, если это необходимо, треугольник А 1 В 1 С 1 можно «перевернуть и приложить обратной стороной». Треугольники совпадут, следовательно, они могут считаться равными.

Третий признак равенства треугольников

(по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис. 9) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой, однако, сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 10) Полученная конструкция — треугольник — будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников (рис. 11).

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увечится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым получим третий признак равенства треугольников.

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть для △ABC и △A 1 B 1 C 1 справедливы равенства А 1 В 1 =АВ, В 1 С 1 =ВС, С 1 А 1 =СА. Переместим треугольник А 1 В 1 С 1 таким образом, что сторона А 1 В 1 совпадет со стороной АВ, и вершины B 1 и B, A 1 и A, совпадут. Возьмем окружность с центром в A и радиусом AC, и вторую окружность с центром B и радиусом BC. Эти окружности пересекутся в двух симметричных относительно отрезка AB точках: точкой C и точкой C 2 . Значит, C1 после переноса треугольника A1B1C1 должна совпасть или с точками C, или с C2. Любом случае, это будет означать равенство △ABC=△A 1 B 1 C 1 , так как треугольники △ABC=△ABC 2 равны (ведь эти треугольники являются симметричными относительно отрезка AB (рис. 12).

Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

В данной работе мы изучили такую важную и интересную геометрическую фигуру как треугольник, подробно рассмотрели признаки равенства треугольников, а также их важнейшие свойства и их применение на практике.

Кроме того, обратились к истории возникновения указанных признаков и свойств треугольников, узнали, как в древности проводили различные измерения, провели аналогии с настоящим временем. Ведь в наше время чтобы измерить высоту здания или найти расстояние мы не обходимся без гениальных идей Фалеса Милетского.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что главная цель работы достигнута, даны по возможности исчерпывающие ответы на поставленные задачи, освещены все изученные теоремы, отражающие три признака равенства треугольников.

1. Энциклопедия «Аванта» по математике, Москва, 2004 г.

2. «Википедия» — свободная энциклопедия.

3. Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, Просвещение, 1982 г.

4. Гусева Т.М. Признаки подобия треугольников.- Москва, Первое сентября, приложение «Математика», 1999 г., №28

5. Погорелов А.В. «Геометрия 7-9 классы», Москва, Просвещение, 2003 г.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Учебный проект на тему: «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Учебный проект на тему:

«Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Историческая справка о признаках равенства треугольников.

3.1.Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Равенства треугольников по трем сторонам. Жесткий треугольник

Применение признаков равенства треугольников на практике.

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа — это разум. Высшее проявление разума — это геометрия. Клетка геометрии — треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная».

Треугольник — уникальная единица познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник является центральной фигурой всей геометрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников.

Цель работы: установить, что треугольник – жесткая фигура, которая нашла широкое практическое применение в жизни человека,

доказать, что признаки равенства треугольников применимы в повседневной жизни.

Изучить литературу о треугольнике

Исследовать применение свойства жесткости на практике

Проанализировать применение признаков равенства треугольников в жизни человека

Обобщить собранную информацию и познакомить с ней своих одноклассников.

Практическая значимость: обобщённый материал данного исследования можно применять как на уроках математики, так и во внеурочное время для привития интереса к математике. Данный материал способствует формированию представления о прикладных возможностях математики.

Сбор информации по данной проблеме;

Обработка полученной информации;

В этом учебном году мы познакомилась с новым предметом – геометрией – наукой, занимающейся изучением геометрических фигур. Основная фигура, которую изучают в геометрии 7 класса – это треугольник. Познакомившись с признаками равенства треугольников, мы узнали и о таком понятии как жесткость треугольника. Учитель на уроке часто рассказывает о практической направленности мат ематики, знакомит с историческим материалом . Мы решили в помощь учителю подготовить учебный проект по теме: «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Как оказалось, признаки треугольников широко используется в практической жизни. И значит, данная тема продолжает оставаться актуальной с древнейших времен.

Историческая справка о признаках равенства треугольников.

3.1.Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам.

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что один его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC к AB; в противоположном направлении восстанавливают CE к AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

Предполагают второй способ, которым древнегреческий математик Фалес первым решил задачу о вычислении расстояния от берега до корабля. Для этого он измерил расстояние АВ и угол ABC . Затем, произведя на суше некоторые построения и измерения, он вычислил расстояние АС.

Построить АВН = ABC , а также построить АЕ перпендикулярно АВ. Точка пересечения лучей ВН и АЕ — вершина треугольника АВМ, равного треугольнику ABC .

Треугольник ABC равен треугольнику АВМ по второму признаку равенства треугольников, значит, у этих треугольников соответствующие стороны равны, т. е. АС = AM , для нахождения расстояния АС от берега до корабля достаточно измерить расстояние AM на местности.

У нас возник вопрос, а каким способом, с помощью какого инструмента можно построить на местности АС перпендикулярно АВ.

Мы выяснили, что для этой цели можно воспользоваться измерительными инструментами экер и теодолит.

Экер (франц. équerre, от позднелат. exquadro — нарезаю четырёхугольник), простейший геодезический инструмент, служащий для построения на местности углов, кратных 90° или 45°

Теодоли́т — измерительный прибор для определения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках , геодезических и маркшейдерских работах, в строительстве и т. п.

Маркшейдерские работы — это работы , которые проводятся для изучения процессов деформации горных пород и земной поверхности в связи с горными работами

Угол ABC на местности можно измерить с помощью астролябии.

Астролябия ( греч. ἁστρολάβον , астролабон , «берущий звезды») — прибор для определения широты, один из старейших астрономических инструментов . Основан на принципе стереографической проекции .

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Для исследования этого признака я решила взять практическую задачу на вычисление длины озера.

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и В D . Измерив D К, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500м.

Но для такого способа нужно много свободного пространства, чтобы сделать эти измерения.

Равенства треугольников по трем сторонам. Жесткий треугольник

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис 1) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой однако сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек.(рис 2) Полученная конструкция — треугольник — будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Если все три стороны

То давно понятно всем

Что равны они совсем.

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увеличится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым получим третий признак равенства треугольников.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

Мы решили проанализировать- встречается ли свойство жёсткости треугольника в моей повседневной жизни . Для этого мы провели практическую работу, наблюдение.

Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку. Телеграфные столбы с подпорками называются анкерными.

Делая садовую калитку, обязательно прибивают планку, чтобы получить треугольник. Это придает калитке прочность, иначе ее перекосит.

Жесткость треугольников применяется при строительстве подъемных кранов, при строительстве железных конструкций.

Применение признаков равенства треугольников на практике.

А вот несколько практических задач по теме.

Столяру нужно заделать отверстие треугольной формы. Сколько размеров и какие он должен снять, чтобы изготовить латку? Что он должен измерить, если отверстие имеет форму:

(измерить длины катетов)

(у равностороннего треугольника все стороны равны; углы также равны между собой- по 60 градусов; достаточно измерить длину одной стороны)

(измерить длину основания и градусную меру углов при основании)

Мама купила 1м ткани шириной 1м на платки двум дочерям. Разделите этот кусок ткани на две равные части; докажите правильность своих действий.

(сгибаем ткань по диагонали; полученные треугольники равны по 3 признаку равенства треугольников)

3. Два дома одинаково удалены от берега реки. Где нужно сделать причал для лодок, чтоб он был одинаково удален от обоих домов

На рисунке показан способ измерения расстояния от А до В по озеру. Известно, что ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ=ЕF.

От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры?

. ( для девочек ) Представьте, что вы на уроке технологии моделируете наряд .

1 ) .Вы шьёте юбку с клиньями

Какие размеры нужно сохранить, чтобы вставляемые клинья были одинаковыми.

2).Вы шьёте блузку.

Какие мерки надо снять, чтобы сделать вырез мысиком на горловине

Признаки равенства треугольников находят применение в различных областях жизни, облегчают физический труд человека.

Знание геометрии меняет жизнь людей к лучшему.

Энциклопедия «Аванта» по математике. 2004 г

Глейзер Г.И. «История математики в школе 7-8 классах», Просвещение 1982 г.

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Признаки равенства треугольников

Один мудрец сказал: >. Треугольник — уникальная единица познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Историческая справка о признаках равенства треугольников

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A — точка берега, B — корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие > решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования. Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, — одна из таких задач, решаемая двумя способами.

Предполагают, что оба способа ее решения принадлежат древнегреческому ученому, путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI в. до н. э. )

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задача 1: Если между точками А и В имеется препятствие, то расстояние АВ можно найти следующим образом. Выбрать точку С, из которой видны точки А и В, и провести прямые АС и ВС. Отложить СА1=СА, СВ1=СВ. Расстояние А1В1 будет равно искомому расстоянию. Докажите это

Решение: Если СА1=СА, а СВ1=СВ , Углы ВСА и А1СВ1 равны, потому что они вертикальные, отсюда треугольники АВС и А1В1С равны по 2 сторонам и углу между ними, значит АВ=А1В1

Задача 2: Для определения расстояния от точки В до недоступной точки А провешивают произвольную прямую ВС, измеряют углы АВС и ВСА и, построив их по другую сторону от прямой ВС, провешивают прямые BD и CD. Докажите что расстояние BD равно искомому расстоянию АВ.

Решение: ВС- Общая сторона, т. к по другую сторону прямой ВС отложили углы АВС и АСВ, то образовались новые углы, DBC и DCB. Углы ABC и DBC равны, углы ACB и DCB равны, отсюда треугольники ABC и DBC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит АВ=DB

Задача 3: Три поселка В, С и D расположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от поселка В, а поселок D — в 4 км к востоку от В. Три других поселка А,К и М расположены так, что поселок М находится в 4 км к югу от К, а поселок А — в 7 км к юго-востоку от М. Докажите что, расстояние между пунктами С и D такое же, как между пунктами К и А

Решение: Договоримся, что на карте север(N) направлен вверх, юг(S) — вниз , восток(O) — направо , запад (W) — налево. По этому условию поселки В,С и D расположены так как показано на рисунке. При том ВD = КМ = 4км, ВС = МА = 7км и ∠СВD=∠КМА=1350. Тогда ∆DВС = ∆КМА, следовательно , DС = АК.

Задача 4: При постройке кровель, мостов, подъемных кранов скрепляют опорные брусья или балки так, чтобы они образовывали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает жесткость формы сооружения, нежели иное?

Решение: Потому что такое скрепление более надежно. Оно выдерживает больше нагрузок, чем другое. Треугольник — жесткая фигура.

Задача 5 От оконного стекла треугольной формы откололся один и его уголков. Можно ли по созранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры.

Решение: Замерить длину скола и углы. Задача сводится к построению треугольника по стороне и двум углам.

Признаки равенства треугольников помогают в решении задач на построение, например: построение угла равного данному; построение биссектрисы угла

Выполнив данный проект, я научилась находить решения практических задач, используя равенства треугольников.

📸 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Первый признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Третий признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать

Первый признак равенства треугольников | Геометрия 7-9 класс #16 | ИнфоурокСкачать

Третий признак равенства треугольников (доказательство) - геометрия 7 классСкачать

7 класс, 20 урок, Третий признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольниковСкачать

3 признак равенства ТРЕУГОЛЬНИКА!Скачать

Признаки Равенства Треугольников, для Чайников, Геометрия 7 класс, 3-й Урок:Скачать

Геометрия 7. Урок 8 - Признаки равенства треугольников.Скачать