Диагонали ромба делят его углы пополам центром окружности

Рис.1	Рис.2

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:Геометрия Доказательство Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его угловСкачать

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Видео:Диагонали ромба пересекаются под прямым угломСкачать

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d ₁ = a √ 2 + 2 · cosα

d ₁ = a √ 2 — 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 + 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 — 2 · cosα

d ₁ = 2 a · cos ( α /2)

d ₁ = 2 a · sin ( β /2)

d ₂ = 2 a · sin ( α /2)

d ₂ = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Видео:Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #9Скачать

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

Видео:Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:№407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если одинСкачать

Диагонали ромба делят его углы пополам центром окружности

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

(sim) противоположные углы ромба попарно равны;

(sim) соседние углы ромба в сумме дают (180^circ) ;

(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство

Рассмотрим ромб (ABCD) .

По определению ромба (AB = AD) , поэтому треугольник (BAD) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой (O) пересечения делятся пополам. Следовательно, (AO) – медиана равнобедренного треугольника (BAD) , а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому (ACperp BD) и (angle BAC = angle DAC) .

Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) . Пусть (ACperp BD) .

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – высота (следует из условия), то (triangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

2) Пусть (AC) – биссектриса угла (angle A) .

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике (ABD) отрезок (AO) – медиана. Т.к. к тому же (AO) – биссектриса (следует из условия), то (triangle ABD) – равнобедренный, т.е. (AB=AD) . Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

3) Пусть (ABCD) – произвольный четырехугольник и (AB=BC=CD=AD) .

Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб.

Видео:Диагонали ромбаСкачать

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство:

Пусть и — диагонали ромба (рис. 49), — точка их пересечения. Поскольку и то — медиана равнобедренного треугольника проведенная к основанию Поэтому является также высотой и биссектрисой треугольника

Следовательно, и

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол а диагональ делит пополам углы и

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть — диагональ ромба а — его высота (рис. 50), = 28°.

1) В

2) Так как делит угол пополам, то

3) Тогда

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть — параллелограмм (рис. 48). Так как (по условию) и (по свойству параллелограмма), то Следовательно, — ромб.

2) Пусть (рис. 49). Поскольку (по свойству параллелограмма), то (по двум катетам). Следовательно, По п. 1 этой теоремы — ромб.

3) Диагональ делит пополам угол параллелограмма (рис. 49), то есть Так как — секущая, то (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Поэтому по признаку равнобедренного треугольника — равнобедренный и По п. 1 этой теоремы — ромб.

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник — ромб.

Доказательство:

Пусть (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то — параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма соседние стороны равны. Поэтому — ромб (по признаку ромба).

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

• Квадрат и его свойства
• Трапеция и ее свойства
• Площадь трапеции
• Центральные и вписанные углы
• Четырехугольники и окружность
• Параллелограмм, его свойства и признаки
• Площадь параллелограмма
• Прямоугольник и его свойства

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

№408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимноСкачать

Задание 24 РомбСкачать

ОГЭ Задание 24 Диагонали ромбаСкачать

Диагонали ромбаСкачать

№477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромбаСкачать

Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этотСкачать

№405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы,Скачать

№493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.Скачать

№1040. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ BD равна стороне ромба.Скачать

8 класс, 8 урок, Ромб и квадратСкачать

№513. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными стоСкачать