Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение четырехугольника
  • Выпуклые четырехугольники
  • Параллелограмм

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачи

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:Четырехугольник | Геометрия 7-9 класс #41 | ИнфоурокСкачать

Четырехугольник | Геометрия 7-9 класс #41 | Инфоурок

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Геометрия. ЧетырехугольникиСкачать

Геометрия. Четырехугольники

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 класс

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Четырехугольники.

Площадь прямоугольника (со сторонами a и b):

Шпаргалка по геометрии четырехугольники,

где a – сторона, Шпаргалка по геометрии четырехугольники– угол, h – высота, d1 и d2 – диагонали.

Связь между стороной и диагоналями:

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольники,

где a и b — стороны, Шпаргалка по геометрии четырехугольники— угол, ha и hb — высоты, опущенные на стороны a и b, Шпаргалка по геометрии четырехугольники— угол между диагоналями d1 и d2.

Связь между стороной и диагоналями:

Шпаргалка по геометрии четырехугольники.

Трапеция (с основаниями a, b и высотой h):

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Выпуклый четырехугольник.

Площадь выпуклого четырехугольника:

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

где d1 и d2 — диагонали, Шпаргалка по геометрии четырехугольники— угол между диагоналями.

Связь между сторонами и диагоналями: Шпаргалка по геометрии четырехугольники, где a, b, c, d — стороны, m — отрезок, соединяющий середины диагоналей.

Свойства четырехугольников:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны: a + c = b + d.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны: Шпаргалка по геометрии четырехугольники.

Для вписанного четырехугольника справедливы формулы: ac + bd = d1d2;

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Четырехугольники. Основные теоремы, формулы и свойства. Виртуальный справочник репетитра по математике

З десь ученики и репетиторы по математике и могут найти основные свойства и формулы площадей четырехугольников, изучаемых в школе по основной программе. Регулярно пользуюсь этими теоретическими сведениями на тематических и обзорных занятиях по геометрии (планиметрии), а также при подготовке к ЕГЭ по математкие. Все математические понятия и факты иллюстрированы с цветовыми выделениями главных особенностей изучаемого.

1) Площади четырехугольников

Площадь параллелограмма

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

произведение основания на высоту

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

пороизведение сторон на синус угла между ними

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь трапеции

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

произведение полусуммы оснований на высоту

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

произведение средней линии на высоту

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

полупроизведение диагоналей на синус угла между ними

Площадь произвольного четырехугольника

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольники
Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними

2) Свойства параллелограмма

Шпаргалка по геометрии четырехугольникиВ параллелограмме:
Шпаргалка по геометрии четырехугольникипротиволежащие стороны и углы равны

Шпаргалка по геометрии четырехугольникидиагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

3) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, то есть

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

3) Cредняя линия в трапеции
Шпаргалка по геометрии четырехугольники
Теорема о средней линии: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
То есть Шпаргалка по геометрии четырехугольникии

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

4) Средняя линия в равнобедренной трапеции

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Средняя линия в равнобедренной трапеции равна отрезку нижнего основания, соединяющему вершину основания с снованием проведенной к ней высоты.

То есть Шпаргалка по геометрии четырехугольники

5) Теорема с сдвиге диагонали в трапеции

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Теорема: Если в трапеции через вершину В, как показано на рисунке слева , провести отрезок параллельный одной из диагоналей, то окажутся верными следующие факты:

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольникитрапеция Шпаргалка по геометрии четырехугольники— равнобедренная Шпаргалка по геометрии четырехугольникиравнобедренный

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

6) Четыре замечательные точки в трапеции

Шпаргалка по геометрии четырехугольники

Теорема: В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пеерсечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

То есть точки M, N, K и P лежат на одной прямой

Комментарий репетитора по математкие: Знаний этих свойств по четырехугольникам вполне достаточно для решения задачи С4 на ЕГЭ, то есть ничего сверх этих фактов по четырехугольникам абитуриент знать не обязан. Однако сильным ученикам для решения сложных задач части С или олимпиадных геометрических задач, а также для качественной подготовки к экзамену по математике в МГУ необходимо расширить список. Я бы не советовал репетиторам ограничиваться только задачами на применение этих свойств, так как составителями ЕГЭ по математике закладывается проверка сразу нескольких навыков работы с теорией. В течении всего времени подготовки к ЕГЭ репетитору по математкие необходимо отбирать тренировочные задачи на одновременное использование этих свойств с другими планиметрическими фактами внутри одной задачи, ибо на экзамене может встретиться многоходовая комбинация.

Колпаков Александр Николаевич. Репетитор по математике.

Александр, конечно, есть множество карманных справочников, НО! Было бы здорово сделать для репетиторов по математике скачиваемые материалы в каком-нибудь удобном формате, а также для проработки отдельно задачи к таким шпаргалкам опять же от простого к сложному.

Я выкладывал на каких-то страницах с карточками-памятками готовые теоретические материалы — файлы в формате word, по крайней мере для планиметрии точно. Просмотрите соответствующие разделы сайта. На них ведут ссылки с главной страницы. Задумываю выделить репетиторам по математике для скачивания материалов отдельный раздел сайта. Все упирается в мою занятость реальными учениками. Иначе бы уже давно реализовал все замыслы.

В этой хорошей подборке, на мой взгляд, не достает сведений по углам, например, два внутренних угла параллелограмма, связанных одной стороной в сумме дают 180 градусов.

Принципиально ли в формуле площади через диагонали брать именно меньший угол между ними? Или можно любой?

Александр, если не затруднит, очень хотелось бы получить файлик world на почту или тыкнуть ссылкой на нее. За ранее очень благодарен за титанический труд.

📸 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Подготовка к контрольной работе. Четырехугольники. Геометрия 8 класс.Скачать

Подготовка к контрольной работе. Четырехугольники. Геометрия 8 класс.

Четырехугольники. Вебинар | МатематикаСкачать

Четырехугольники. Вебинар | Математика

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Как правильно решить задание про четырёхугольник? / Разбор заданий на ОГЭ по геометрииСкачать

Как правильно решить задание про четырёхугольник? / Разбор заданий на ОГЭ по геометрии

ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС с примерамиСкачать

ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС с примерами

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Геометрия 8 класс (Урок№1 - Многоугольники. Четырёхугольник.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№1 - Многоугольники. Четырёхугольник.)

МЕРЗЛЯК-8. ГЕОМЕТРИЯ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. ПАРАГРАФ-1. ТЕОРИЯСкачать

МЕРЗЛЯК-8. ГЕОМЕТРИЯ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК. ПАРАГРАФ-1. ТЕОРИЯ

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: