Сформулируйте определение медианы треугольника

Элементы треугольника. Медиана

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Сформулируйте определение медианы треугольника

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Сформулируйте определение медианы треугольника

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Сформулируйте определение медианы треугольника

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

Сформулируйте определение медианы треугольника

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

Сформулируйте определение медианы треугольника

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

Сформулируйте определение медианы треугольника, где где Сформулируйте определение медианы треугольника— медиана к стороне Сформулируйте определение медианы треугольника; Сформулируйте определение медианы треугольника— стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

Сформулируйте определение медианы треугольника, где Сформулируйте определение медианы треугольника– медианы к соответствующим сторонам треугольника, Сформулируйте определение медианы треугольника— стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Медиана треугольника

Сформулируйте определение медианы треугольника Сформулируйте определение медианы треугольника

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 280.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 280.

Медиана треугольника, так же, как и высота, служит графическим параметром, определяющим весь треугольник, значение его сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы – это, как штрих-код на товаре, наша задача – просто уметь его считать.

Сформулируйте определение медианы треугольника

Видео:Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Видео:Длина медианы треугольникаСкачать

Длина медианы треугольника

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольников.

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенузу находим через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

Найдем значение медианы: $$m===2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • В треугольнике известны значения сторон : a=8; b=7; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это a, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt<*(b^2+c^2-a^2)>$$

$$m=sqrt<*(49+81-64)>=sqrt$$ – оставим результат в виде корня.

  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание – 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит, в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

Площадь каждого из малых треугольников: $$=4$$

Сформулируйте определение медианы треугольника

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.Скачать

Формула нахождения медианы треугольника по известным сторонам треугольника.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Сформулируйте определение медианы треугольника

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Сформулируйте определение медианы треугольника

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Сформулируйте определение медианы треугольника

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Сформулируйте определение медианы треугольника

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

Сформулируйте определение медианы треугольника

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Сформулируйте определение медианы треугольника

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Сформулируйте определение медианы треугольника

Видео:Формула медианы треугольникаСкачать

Формула медианы треугольника

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

💡 Видео

Медиана треугольника. Построение. Свойства.Скачать

Медиана треугольника. Построение. Свойства.

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Построение медианы треугольникаСкачать

Построение медианы треугольника

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: