Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Свойства трапеции, описанной около окружности: формулы и теоремы

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Трапеция — это геометрическая фигура с четырмя углами. При построении трапеции важно учитывать, что две противоположные стороны параллельны, а две другие, наоборот, не параллельны относительно друг друга. Это слово пришло в современность из Древней Греции и звучало как «трапедзион», что означало «столик», «обеденный столик».

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Эта статья рассказывает о свойствах трапеции, описанной около окружности. Также мы рассмотрим виды и элементы этой фигуры.

Содержание
  1. Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция
  2. Свойства трапеции, описанной около окружности
  3. Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность
  4. Трапеция. Свойства трапеции
  5. Свойства трапеции
  6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  7. Вписанная окружность
  8. Площадь
  9. Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
  10. Признаки равнобедренной трапеции
  11. Основные свойства равнобедренной трапеции
  12. Стороны равнобедренной трапеции
  13. Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
  14. Средняя линия равнобедренной трапеции
  15. Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
  16. Высота равнобедренной трапеции
  17. Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
  18. Диагонали равнобедренной трапеции
  19. Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
  20. Площадь равнобедренной трапеции
  21. Формулы площади равнобедренной трапеции:
  22. Окружность описанная вокруг трапеции
  23. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  24. 💡 Видео

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция

Параллельные стороны в этой фигуре называют основаниями, а те, что не параллельны — боковыми сторонами. При условии, что боковые стороны одинаковой длины, трапеция считается равнобедренной. Трапеция, боковые стороны которой лежат перпендикулярно основанию под углом в 90°, называется прямоугольной.

У этой, казалось бы, незамысловатой фигуры имеется немалое количество свойств, ей присущих, подчеркивающих ее признаки:

  1. Если провести среднюю линию по боковым сторонам, то она будет параллельна основаниям. Этот отрезок будет равен 1/2 разности оснований.
  2. При построении биссектрисы из любого угла трапеции образуется равносторонний треугольник.
  3. Из свойств трапеции, описанной около окружности, известно, что сумма параллельных боковых сторон должна быть равна сумме оснований.
  4. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является основанием трапеции, полученные треугольники будут подобны.
  5. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является боковой, полученные треугольники будут иметь равную площадь.
  6. Если продолжить боковые линии и построить отрезок из центра основания, то образованный угол будет равен 90°. Отрезок, соединяющий основания, будет равен 1/2 их разности.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Свойства трапеции, описанной около окружности

Заключить окружность в трапецию возможно лишь при одном условии. Данное условие заключается в том, что сумма боковых сторон должна быть ровна сумме оснований. Например, при построении трапеции AFDM применимо AF + DM = FD + AM. Только в таком случае в трапецию можно заключить круг.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Итак, подробнее о свойствах трапеции, описанной около окружности:

  1. Если в трапецию заключена окружность, то для того, чтобы найти длину ее линии, пересекающей фигуру пополам, необходимо найти 1/2 от суммы длин боковых сторон.
  2. При построении трапеции, описанной около окружности, образованная гипотенуза тождественна радиусу круга, а высота трапеции по совместительству является и диаметром круга.
  3. Еще одним свойством равнобедренной трапеции, описанной около окружности, является то, что ее боковая сторона сразу видна от центра окружности под углом 90°.

Видео:Около трапеции описана окружностьСкачать

Около трапеции описана окружность

Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность

Только равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность. Это значит, что нужно соблюсти условия, при которых построенная трапеция AFDM будет отвечать следующим требованиям: AF + DM = FD + MA.

Теорема Птолемея гласит, что в трапеции, заключенной в окружность, произведение диагоналей тождественно и равно сумме умноженных противоположных сторон. Это значит, что при построении окружности, описанной около трапеции AFDM, применимо: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

На школьных экзаменах довольно часто встречаются задачи, требующие решения задач с трапецией. Большое количество теорем необходимо запоминать, но если выучить сразу не получиться — не беда. Лучше всего периодически прибегать к подсказке в учебниках, чтобы эти знания сами собой, без особого труда уложились в голове.

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

3. Треугольники Равнобедренная трапеция описана около окружности свойстваи Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Отношение площадей этих треугольников есть Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

4. Треугольники Равнобедренная трапеция описана около окружности свойстваи Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Видео:ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

ОГЭ по математике. Задание 15

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Равнобедренная трапеция описана около окружности свойстваи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Равнобедренная трапеция описана около окружности свойстваи Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства, то Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Видео:Геометрия Около окружности радиуса √2 описана равнобедренная трапеция, у которой одно основаниеСкачать

Геометрия Около окружности радиуса √2 описана равнобедренная трапеция, у которой одно основание

Площадь

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойстваили Равнобедренная трапеция описана около окружности свойствагде Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства– средняя линия

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция описана около окружности свойства
Рис.1

Видео:2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линиюСкачать

2116 около окружности описана трапеция периметр которой равен 120 Найдите её среднюю линию

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Видео:ЕГЭ. Трапеция, описанная около окружности.Скачать

ЕГЭ. Трапеция, описанная около окружности.

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:

AP =BC + AD
2
PD =AD — BC
2

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a — 2 h ctg α = a — 2 c cos α

c =h=a — b
sin α2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =d 1 2 — c 2b =d 1 2 — c 2c = √ d 1 2 — ab
ba

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =2S— b b =2S— a
hh

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

с =S
m sin α

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

с =2S
( a + b ) sin α

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √ c 2 — h 2 = b + √ c 2 — h 2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

m =S
c sin α

Видео:Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.Скачать

Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h =1√ 4 c 2 — ( a — b ) 2
2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =a — btg β= c sin β
2

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d 1 = √ a 2 + c 2 — 2 ac cos α

d 1 = √ b 2 + c 2 — 2 bc cos β

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d 1 =1√ 4 h 2 + ( a + b ) 2
2

Видео:Задание 26 Равнобедренная трапеция, описанная и вписанная окружностиСкачать

Задание 26 Равнобедренная трапеция, описанная и вписанная окружности

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =a + b√ 4 c 2 — ( a — b ) 2
4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a — c cos α ) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =4 r 2=4 r 2
sin αsin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

S =ab=ab
sin αsin β

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 2· sin γ=d 1 2· sin δ
22

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

S =a + b· h
2

Видео:Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности VictorSh02181Скачать

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности VictorSh02181

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

💡 Видео

ЕГЭ математика 2023 Вариант 2 задача 1Скачать

ЕГЭ математика 2023  Вариант 2 задача 1

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника
Поделиться или сохранить к себе: