Может ли четырехугольник иметь центр симметрии и когда

О чем эта статья:

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:№422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?Скачать

Материалы к уроку%: Центральная симметрия.

Видео:Осевая и центральная симметрия.Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Ось симметрииСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Центральная симметрия Точки А и А’ называются симметричными относительно точки О, если О является серединой отрезка АА’. Точка О считается симметричной сама себе. Преобразование плоскости, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно точки О точка А’, называется центральной симметрией. Точка О при этом называется центром симметрии.

Центральная симметрия Две фигуры F и F’ называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры. Фигура F называется центрально-симметричной относительно центра О, если она симметрична сама себе.

Свойства Свойство 1. Центральная симметрия сохраняет расстояния между точками. Свойство 2. Центральная симметрия переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые. Свойство 3. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Вопрос 1 Какие точки называются симметричными относительно точки? Ответ: Точки А и А’ называются симметричными относительно точки О, если О является серединой отрезка АА’. Точка О считается симметричной сама себе.

Вопрос 2 Что называется центральной симметрией? Ответ: Центральной симметрией называется преобразование плоскости, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно точки О точка А’.

Вопрос 3 Какие фигуры называются центрально симметричными? Ответ: Две фигуры F и F’ называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.

Вопрос 4 Какая фигура называется центрально симметричной? Ответ: Фигура F называется центрально-симметричной относительно центра О, если она симметрична сама себе.

Вопрос 5 Сформулируйте свойства центральной симметрии. Ответ: 1. Центральная симметрия сохраняет расстояния между точками. 2. Центральная симметрия переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые. 3. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Вопрос 6 Какая точка при центральной симметрии переходит в себя? Ответ: Центр симметрии.

Вопрос 7 Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя? Ответ: Прямые, проходящие через центр симметрии.

Упражнение 1 Имеет ли отрезок центр симметрии? Ответ: Да.

Упражнение 2 Ответ: В середине отрезка AA’. Центральная симметрия переводит точку А в точку А’. Где находится центр симметрии?

Упражнение 3 Имеет ли луч центр симметрии? Ответ: Нет.

Упражнение 4 Имеет ли центр симметрии пара пересекающихся прямых? Ответ: Да.

Упражнение 5 Имеет ли равносторонний треугольник центр симметрии? Ответ: Нет.

Упражнение 6 Имеет ли параллелограмм центр симметрии? Ответ: Да.

Упражнение 7 Верно ли утверждение о том, что если четырехугольник имеет центр симметрии, то он является параллелограммом? Ответ: Да.

Упражнение 8 Какие из фигур, изображенных на рисунке, имеют центр симметрии? Ответ: б), в), г), д).

Упражнение 9 На рисунке укажите буквы латинского алфавита, имеющие центр симметрии. Ответ: H, I, N, O, S, X, Z.

Упражнение 10 Всякий ли правильный многоугольник имеет центр симметрии?

Упражнение 11 Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? Ответ: Да, например, прямая имеет бесконечно много центров симметрии.

Упражнение 12 Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей? Ответ: Да, например, центр окружности является ее центром симметрии.

Упражнение 13 При каком расположении трех прямых образованная ими фигура имеет бесконечно много центров симметрии? Ответ: Две прямые параллельны третьей и находятся от нее на равных расстояниях.

Упражнение 14 Изобразите точку A’, симметричную точке A, относительно точки O.

Упражнение 15 Изобразите точку A’, симметричную точке A, относительно точки O.

Упражнение 16 Изобразите отрезок A’B’, симметричный отрезку AB, относительно точки O.

Упражнение 17 Изобразите отрезок A’B’, симметричный отрезку AB, относительно точки O.

Упражнение 18 Изобразите отрезок A’B’, симметричный отрезку AB, относительно точки O.

Упражнение 19 Изобразите прямую, симметричную данной прямой a относительно точки O.

Упражнение 20 Изобразите прямую, симметричную данной прямой a относительно точки O.

Упражнение 21 Изобразите треугольник A’B’С’, симметричный треугольнику ABC, относительно точки O.

Упражнение 22 Изобразите треугольник A’B’С’, симметричный треугольнику ABC, относительно точки O.

Упражнение 23 Изобразите треугольник A’B’С’, симметричный треугольнику ABC, относительно точки O.

Упражнение 24 Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD, относительно точки O.

Упражнение 25 Изобразите четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD, относительно точки O.

Упражнение 26 Отрезки AB и CD являются центрально-симметричными. Укажите центр симметрии.

Упражнение 27 Треугольники ABC и DEF являются центрально-симметричными. Укажите центр симметрии.

Упражнение 27 Треугольники являются центрально-симметричными. Укажите центр симметрии.

Упражнение 27 Треугольники являются центрально-симметричными. Укажите центр симметрии.

Упражнение 28 Имеет ли четырехугольник, изображенный на рисунке, центр симметрии? Если да, укажите его.

Упражнение 29 Имеет ли четырехугольник, изображенный на рисунке, центр симметрии? Если да, укажите его.

Упражнение 30 Имеет ли шестиугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты, центр симметрии?

Упражнение 31 Имеет ли восьмиугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты, центр симметрии?

Упражнение 32 Изобразите треугольник, симметричный треугольнику OAB, относительно точки O.

Упражнение 33 Изобразите треугольник A’B’С’, симметричный треугольнику ABC, относительно точки O.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 342 человека из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 688 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Тележинская Елена ЛеонидовнаНаписать 1462 25.04.2018

Номер материала: ДБ-1508526

24.04.2018 572

22.04.2018 777

22.04.2018 167

22.04.2018 260

22.04.2018 190

22.04.2018 378

22.04.2018 290

22.04.2018 264

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Четырёхугольники,симметрия

Презентация о видах четырёхугольников и их свойствах.

Видео:Центральная симметрияСкачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Построение симметричного четырехугольника. #ShortsСкачать

Подписи к слайдам:

Что я знаю о четырёхугольниках Выполнила Безверхняя Кристина учитель Ефимова Вера Сергеевна

Четырёхугольники Геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх отрезков, последовательно соединяющих эти точки, называется четырёхугольником.

Взгляд в прошлое. В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: Квадраты,прямоугольники,равнобедренные и прямоугольные трапеции. Термин «параллелограмм» греческого происхождения и был введен Евклидом.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения,оно означало в древности вращающееся тело,веретено,юлу . «Трапеция»-слово греческое,означавшее в древности «столик».В «началах» термин «трапеция» применяется не в современном,а в другом смысле:любой четырехугольник(не параллелограмм) «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1в.)

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная .

Вершины многоугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями . Углом (или внутренним углом ) многоугольника при данной вершине называется угол , образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от -180° до 180°.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником . Сумма внутренних углов плоского выпуклого -угольника равна :

Многоугольник называют выпуклым , если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий: Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон); Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей; Каждая диагональ лежит внутри многоугольника; Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклые и невыпуклые четырёхугольники

Четырехугольник-фигура,которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков.При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой,а соединяющие их отрезки не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников: Параллелограмм Ромб Прямоугольник Квадрат Трапеция

Параллелограмм. Параллелограмм-четырехугольник ,у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки Противолежащие стороны попарно равны Противолежащие углы равны Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 0 Каждая из диагоналей разбивает четырехугольник на два равных треугольника

Свойства Противолежащие стороны равны Противолежащие углы равны Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2 )

Ромб Ромб-параллелограмм,у которого все стороны равны.

Признаки ромба Две его смежные стороны равны Его диагонали перпендикулярны Одна из диагоналей является биссектрисой его угла

Свойства ромба Диагонали перпендикулярны Диагонали являются биссектрисами углов

Прямоугольник Прямоугольник-параллелограмм,у которого все углы прямые

Признаки прямоугольника Один из углов прямой Его диагонали равны

Свойства прямоугольника Диагонали равны Противолежащие стороны равны Противолежащие углы равны Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон d12+d22=2(a2+b2)

Квадрат Квадрат-прямоугольник,у которого все стороны равны.

Признаки квадрата Все стороны равны Прямоугольник является квадратом,если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Свойства квадрата Все углы квадрата прямые Диагонали квадрата равны,взаимно перпендикулярны,точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Определение. Симметрия (означает «соразмерность» ) — свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры.

Симметрия относительно точки предполагает, что по обе стороны от точки на одинаковых расстояниях находится что-либо, например другие точки или геометрическое место точек (прямые линии, кривые линии, геометрические фигуры).

Симметрия относительно прямой (оси симметрии) предполагает, что по перпендикуляру, проведенному через каждую точку оси симметрии, на одинаковом расстоянии от нее расположены две симметричные точки. Относительно оси симметрии (прямой) могут располагаться те же геометрические фигуры, что и относительно точки симметрии.

Симметрия относительно точки — это центральная симметрия (рис. 23), а симметрия относительно прямой — это осевая симметрия (рис. 24).

🎦 Видео

Осевая и центральная симметрии. 6 класс.Скачать

6 класс, 26 урок, СимметрияСкачать

Ось симметрии. Что это такое и как её проводить?Скачать

Геометрия на С++. Поиск осей симметрии выпуклого четырехугольникаСкачать

Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать

СИММЕТРИЯ | осевая симметрия | центральная симметрияСкачать

Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

ЧетырехугольникиСкачать

ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать