Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.Скачать

Сторона квадрата равна 56. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36
Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140Скачать

Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36
Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(5)

Из формулы (5) найдем R:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36
Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36, получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36
Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36в (8), получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(9)

где Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36в (9), получим:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(13)

Из (13) следует, что

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать

2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Видео:Задача 6 №27892 ЕГЭ по математике. Урок 126Скачать

Задача 6 №27892 ЕГЭ по математике. Урок 126

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

Видео:17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

Найдите радиус окружности вписанной в квадрат со стороной 36

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Радиус вписанной в квадрат окружности вдвое меньше его стороны. Он равен 4.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён квадрат. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Радиус вписанной в квадрат окружности вдвое меньше его стороны. Он равен 3.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 24.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

Радиус вписанной в квадрат окружности вдвое меньше её стороны. Он равен 2.

🔥 Видео

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018Скачать

ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ВОСЕМНАДЦАТОГО ЗАДАНИЯ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2018

Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика
Поделиться или сохранить к себе: