Разложение вектора по трем векторам

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

• Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
• выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
• введите значения базисных векторов;
• введите значения вектора который нужно разложить по базису;
• Нажмите кнопку «Разложить вектор по базису» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы напомним основные определения и рассмотрим типовые задачи на компланарные векторы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Урок «Разложение вектора по трём некомпланарным векторам»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Если вектор представлен в виде

где x, y, и z — некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y и z называются коэффициентами разложения.

Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Пусть , и — данные некомпланарные вектора. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде . Затем докажем единственность коэффициентов разложения.

Доказательство: Пусть , и — данные некомпланарные вектора

Отметим произвольную точку О и отложим от нее векторы. Через точку Р проведем прямую параллельную ОС. Р1 точка пересечения прямой с плоскостью АОВ (если Р принадлежит ОС, то в качестве Р1 возьмем точку О). Через Р1 проведем прямую Р1Р2 параллельную ОВ; Р2 точка пересечения этой прямой с ОА (если Р1 принадлежит ОВ то в качестве Р2 возьмем точку О);

2) По правилу многоугольника

Заметим, что векторы ОР2 и ОА, Р2Р1 и ОВ. Р1Р и ОС коллинеарны. Значит, существуют такие числа x, y и z, что. Получаем, что

Существование разложения доказано.

Докажем единственность коэффициентов разложения. Допустим, что имеется ещё одно разложение вектора р;

Вычитая это равенство из ; получим

Это равенство выполняется только тогда, когда. Если предположить, например, что , то из этого равенства получим

Тогда, векторы , и – компланарны. Это противоречит условию теоремы.

Значит, наше предположение неверно, , Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом. Теорема доказана.

Дан параллелепипед АВСDA1B1C1D1.

Разложите вектор BD1 по векторам BA, ВС и ВВ1.

По правилу параллелепипеда вектор ВД1 равен сумме векторов ВА, ВС и ВВ1.

Решим эту же задачу под буквой б. Здесь нужно разложить вектор B1D1 по векторам А1A, А1В и А1D1.

По правилу треугольника из треугольника А1В1D1:

Вектор В1D1 равен сумме векторов B1A1+ А1D1 вектор В1A1 из А1В1B равен сумме .В1B + BA1 . Вектор ВВ1 = АА1. Вектор ВА1 = – А1В.

Получим: Вектор В1D1 = (A1A – A1B)+ А1D1 = A1A – A1B+ А1D1 .