Разложение вектора а на составляющие — операция замены вектора а несколькими другими векторами аь а2, а3 и т. д., которые при их сложении образуют начальный вектор а; в этом случае векторы db а2, а3 и т. д. называются составляющими вектора а. Иными словами, разложение любого вектора на составляющие — действие, обратное сложению векторов.
Из рис. 1.5 следует, что сумма векторов ах и ау равна начальному вектору а, т. е. d = ах + ау; здесь ах и ау являются составляющими вектора ау вдоль осей Ох и Оу соответственно.
Проекция вектора d на ось Ох — длина вектора ах (величина алгебраическая), взятая со знаком «минус» или «плюс». Аналогично вводится понятие проекций вектора d на заданную координатную ось Оу.
При нахождении проекций вектора а предварительно находят его составляющие ах и ау по осям; если составляющая (ах, ау) совпадает с положительным направлением оси, проекцию берут со знаком «плюс», если же нет, то со знаком «минус». Величина проекций определяются по формулам
где а — модуль вектора ау; а и р — углы между положительным направлением соответствующей оси и вектора ау (рис. 1.5).
Длина (модуль) вектора а равна а = ^а 2 х + а 2 у, а угол а равен а = arctg ау/ах. Следует отметить, что составляющая вектора есть вектор, проекция вектора — число, которое может принимать положительное или отрицательное значения.
Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.
Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.
Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач
Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).
Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.
Видео:Разложение вектора по векторамСкачать
Координатные векторы
Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.
Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.
Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать
Разложение вектора
Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .
Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.
Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; — 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → — 3 · j → .
Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.
Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .
Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .
Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать
Равные и противоположные векторы
Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.
Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.
Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, — a → = ( — a x ; — a y ) .
Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.
Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .
Видео:10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать
Координаты радиус-вектора точки
Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.
Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .
Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .
Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки
Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → — координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.
Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.
Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .
Видео:#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать
Компоненты вектора
Вектор – геометрическое представление величины и направления, выражающиеся стрелками в двух-трех измерениях.
Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Задача обучения
- Константы двумерных и трехмерных векторов.
Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕСкачать
Основные пункты
- Векторы разделяются на два компонента: величина и направление.
- Если принимать вектор как гипотенузу, то горизонтальные и вертикальные составляющие можно найти, заполнив треугольник. Нижний край – горизонталь, а противоположная углу сторона – вертикаль.
- Угол, созданный с горизонталью, можно применить для поиска длины двух компонентов.
Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать
Термины
- Координаты – числа, указывающие на позицию относительно оси. Например, х и у демонстрируют положение относительно одноименных осей.
- Величина – число вектора, указывающее на его длину.
- Ось – воображаемая линия, вокруг которой объект вращается или расположен симметрично.
Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по трем векторамСкачать
Обзор
Вектор – геометрическое отображение величины и направления, которые чаще всего отмечаются прямыми стрелками, начиная с одной точки на координатной оси и заканчивая на другой. Все векторы наделены длиной, при помощи которого один вектор сравнивают с другим. Векторы со стрелками также обладают направлением. Это главное отличие от скаляров, выступающих простыми числами без направления.
Какие есть составляющие вектора? Вектор характеризуется величиной и позицией относительно оси координат. Полезно анализировать векторы, чтобы разложить на составные части. Если мы говорим о двумерных векторах, то это вертикальные и горизонтальные компоненты. В случае с трехмерными все остается прежним, но теперь мы имеем еще одно направление: x, y, z.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать
Разложение вектора
Чтобы визуально разложить вектор на составляющие, начните с системы координат. Далее проведите прямую линию от оси х и продолжайте ее, пока не выровняется с кончиком вектора. Это горизонтальный компонент. Для поиска вертикального, проведите линию от конца горизонтального вектора, пока не дойдете до кончика вектора. В итоге, получите правильный треугольник, в котором вектор играет роль гипотенузы.
Исходный вектор, определенный относительно множества осей. Горизонтальный компонент простирается от начала вектора и до координаты х. Вертикальный тянется от х к самой вертикальной точке. Вместе формируют правильный треугольник
Разделение на горизонталь и вертикаль – удобный способ разобраться в физической проблеме. Как только замечаете движение под углом, вы обязаны воспринимать его как перемещение по горизонтали и вертикали одновременно. Это помогает намного проще отслеживать движение объектов.
🔍 Видео
89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Урок 4. Геометрия 9 классСкачать
Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать
ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать
Видеоурок "Разложение вектора по базису"Скачать
Разложение вектора в декартовой системе координатСкачать
Разложение вектора по координатным осям. Единичный и координатные векторы. Геометрия 8-9 классСкачать
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 классСкачать
Разложение силы на составляющиеСкачать